定积分的应用(2)(1)

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1、高等数学练习题第六章定积分的应用系专业班姓名学号第二节定积分的几何应用（一）一、填空题：1、由曲线和直线、所围成的平面图形的面积的定积分表达式A=[C]（A）（B）（C）（D）二、填空题：1、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积微元（以为变元）（以为变元）2、设D由围成在第一象限部分，则取为积分变元时，其面积（定积分表达式）为3、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积值三、计算题：1、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。解：如图，，设点处的切线为；点处的切线为则；其交点为。于是所求面积=812、求有摆线的一

2、拱（）与轴所围成的图形的面积.解：如图，=3、在上给定函数，问取何值时，图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？DBCAO解：设，记曲边三角形OACO与ADBA的面积分别为和。则；。其面积之和为=令。又，，，故最大值为，最小值为。81高等数学练习题第六章定积分的应用系专业班姓名学号第二节定积分的几何应用（二）一、选择题：1、曲线所围成的图形的面积为[C]（A）（B）（C）（D）2、由曲线和围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积为[B]（A）（B）（C）（D）3、曲线在区域内的弧长为[D]（A）（B）（C）（D

3、）二、填空题：1、曲线所围成的图形的面积为A=2、曲线和直线、所围成的平面图形分别绕轴和轴旋转的旋转体的体积是=和=三、计算题：1、求曲线和所围成图形的公共部分的面积。解：如图，显然两曲线所围成的图形关于轴对称，所以只需要计算第一象限部分的面积，再乘以2即可。两曲线在第一象限的交点坐标为，故所求面积为81==2、求曲线所围成的图形绕轴旋转的旋转体的体积解：方法一，如图，曲线的参数方程为，那么所求旋转体的体积为==方法二，====3、在摆线上求分摆线第一拱成的点的坐标。解：如图，设所求点的坐标为，该点分摆线第一拱所得的两段弧的

4、长分别为和，那么，依题意有，从而，即所求点的坐标为。81高等数学练习题第六章定积分的应用系专业班姓名学号第三节定积分的物理应用1．由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比，即F=ks（k是比例系数）。如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功。解：取为积分变量，其变化区间为，设为上任一小区间。当弹簧从伸长到时，外力所做的功近似于，即功元素为，于是，所求的功为（J）。2、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在第一次时，将铁钉击入木板1cm。如果铁锤每次打

5、击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？解：设其中为比例系数，为铁钉击入木板的深度，且锤击第二次时，铁钉又击入cm.则第一次锤击所做的功为；第二次锤击所做的功为，依题意有解得，。3、设一圆锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以吸管将水吸尽，问要作多少功？解：如图，取深度为积分变量，其变化区间为，相应于上任一小区间的一薄层水的体积近似于，重力近似于KN。将这一薄层水吸出需做的功近似于，于是，所求的功为(KJ)814、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的

6、一侧所受的水压力。解：如图，取水深为积分变量，其变化区间为，设为上的任一小区间，则相应于的这一小块闸门上各点处的压强近似于，面积近似于，因此这一小块闸门所受压力即压力元素为，于是所求压力为（KN）5、设有一长度为、线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端平行距离为单位处有一质量为的质点，试求这细棒对质点的引力。解：如图，去轴经过细直棒，棒的一端为原点，质点位于轴上，取为积分变量，其变化区间为，把细直棒上相应于的一段近似地看成一个质点，其质量为，与相距，该一小段细直棒队的引力的大小为。从而，在水平方向和铅直方向的近似值，即细直棒对质

7、点的引力在水平和铅直方向的分力的元素分别为；。于是，引力在水平方向的分力；在铅直方向的分力。8181