定积分的应用(1)

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1、第六章定积分的应用（1、2）陈建英王江顺主编第一节定积分在几何上的应用（1、2）教学目的：掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元”教学形式：多媒体教室里的讲授法教学时间：90分钟一、引入新课    回顾    曲边梯形求面积的问题    曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。    面积表示为定积分的步骤如下：    (1)把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则    (2)计算的近似值.    (3)求和，得A的近似值    (4

2、)求极限，得A的精确值23    提示　若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取于是   二、新授课1．元素法的一般步骤：    (1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；    (2)设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值。如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；    (3)以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式。    这个方法通常叫做元素法。    应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲

3、线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。2．直角坐标系下的面积计算(1)平面图形由连续曲线成,并且在区间[a,23b]上如图6-1或如图6-2所示.（图6--1）（图6—2） 应用  曲边梯形的面积    （图6—3）(2)平面图形由连续曲线成，并且在区间见例1计算由两条抛物线和所围成的图形面积。(1)作图.利用Mathematica,输入Plot输出图形  解　两曲线的交点，    选为积分变量，，23    面积元素    ，        例2　计算由曲线和所围成的图形的面积。解　两曲线的交点，    选为积分变量，            于是所

4、求面积            说明：注意各积分区间上被积函数的形式。    问题：积分变量只能选吗？例1计算由曲线和直线所围成的图形的面积。解　两曲线的交点23，选为积分变量，作图.利有Mathematica,输入输出图形,如图所示;    注意对于同一问题,有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同,因此在实际计算时,应选取合适的积分变量,使计算简化.例4解(1)求交点的横坐标.(2)作图.作出曲线与曲线所围的平面图形，输出求面积.图6--623输出1.007510.0758192三、本节小结：1． 微元法的实质是什么？（  微元法的

5、实质仍是“和式”的极限。）2．求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)。四、课外作业：P116习题6—1一、求下列各组平面图形的面积1、与直线及。    2、与直线及 二、求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积。    三、求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积23第六章定积分的应用（3、4）第一节定积分在几何上的应用（3、4）教学目的：会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟

6、教学过程一、引入新课写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程二、新授课 如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积(其中和对应曲线起点与终点的参数值)，在[，](或[，])上具有连续导数，连续。    例4　求椭圆的面积。解　椭圆的参数方程    由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。    设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积。这里，在上连续，且。    面积元素23    曲边扇形的面积    例5　求双纽线所围平面图形的面积。    解　由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积    ，        例6　求心形线所围平

7、面图形的面积。例4求两曲线及所围成图形的公共部分的面积。解将极坐标方程改写成参数方程(1)作图利用Mathematica,输入(图6—8)23输入23(图6—9)输入三、本节小结：参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积四、课外作业：一、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1、。  2、摆线及轴。   3、及的公共部分。23第六章定积分的应用（5、6）第一节定积分在几何上的应用（5、6）教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：分析使用平行截面计算的立体图形，旋转体体积的计算。教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课平行截面

8、体的概念二、新授课1．已知平行截面的立体体积如图6—10所示，设有一立体图形，其垂直于x轴的截面面积是已知连