定积分的简单应用1

《定积分的简单应用1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§3.5定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用（1）嘉祥三中高二数学组知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续曲线。2.以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限.3.定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间。在每个小区间上任取一点作和式，当n时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数在区间[a,b]上的定积分。记作:。即=.其中f(x)叫做被积函数，

2、x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，b,a分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。4.定积分的几何意义:表示介于x轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图像连续不断的函数,并且Fˊ(x)=f(x),那么=F(x)

3、=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。6.定积分的性质:5①,(其中k为常数);②;③(其中a

4、)。7.利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是[-a,a]上的奇函数,则;若f(x)是[-a,a]上的偶函数,则.8.定积分的求法:①定义法(用微分思想求曲边梯形的面积,分割,近似代替,求和,取极限.);②牛顿-莱布尼兹公式法;③几何意义法:若y=f(x),x轴,与直线x=a,x=b之间的各部分区域是可求面积的规则图形,则可直接求其面积.比如求.④利用奇、偶函数的性质求.9.定积分的简单应用（1）定积分在几何中的应用:如图曲线y=f1(x),y=f2(x)与直线x=a,x=b围成的曲边梯形面积S=.（如图2-5-6（1）（2）

5、定积分在物理中的应用：（i）变速直线运动的路程:运动速度为V(t),则在t=a到t=b时间内物体的位移为S=.（ii）变力作功:力F是位移s的函数,则在s=a到s=b时间内力所做的功为W=.疑难点、易错点剖析：1.定积分是一个常数。2.用定义求定积分的一般方法是：(1）分割：n等分区间[a,b];(2)近似代替：取点；(3）求和：；(4）取极限：3.利用微积分基本定理(即牛顿-莱布尼兹公式)求定积分，关键是找到满足F’(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数f(x)的原函数F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关

6、系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F(x)。4.利用定积分求曲边梯形的面积，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分上、下限。5.几种典型的曲边梯形的计算方法：（1）由三条直线x=a,x=b（a

7、.与数学其他知识模块的结合:借用定积分的求法与意义,可与数学中的其他知识结合,比如可与导数,解析几何,二次函数等知识内容构成综合题.直击考点考点1利用微积分基本定理、定积分的性质求定积分考例1:求下列定积分的值:①②③④思路分析:①注意8x与x8的区别;②被积式为绝对值时,应分段积分;④利用奇函数在关于原点对称的积分区间上的积分值为0;⑤利用简单复合函数的求导规则寻找公式中的F(x).锦囊妙计:5求定积分最常用的方法当然是牛顿-莱布尼兹公式,但有时不易找到公式中的F(x),此时可用其它的方式间接来求定积分,比如可用定积分的几何

8、意义,或利用函数的奇偶性来求.变式与拓展:①②③考点2.用定积分的几何意义求定积分考例2.用定积分的几何意义求值:①;②思路分析：①根据定积分的几何意义，利用平面几何知识可得面积；②可利用定积分的几何意义及公式一起解决;锦囊妙计：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规则图形的面积。举一反三：求定积分：.考点3定积分的上（下）限含有变量问题与函数的最值。考例3:已知f(x)=,求f(x)的最小值.思路分析:求积分后即转化为求二次函数的最值,注意到隐含条件x≥0.锦囊妙计:解决此类问题应注意积

9、分式中的积分变量是什么,切忌想当然.5举一反三:函数f(a)=的最小值为.5