定积分的应用(4)(1)

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1、第六章定积分的应用第一节定积分的元素法教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法教学重点：元素法的思想教学难点：元素法的正确运用教学内容：一、再论曲边梯形面积计算设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。1．化整为零用任意一组分点将区间分成个小区间，其长度为并记相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为。于是2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值3．积零为整，给出“整”的近似值4．取极限，使近似值向精确值转化上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将分成部分区间，则相应地分成部

2、分量，而这表明：所求量对于区间具有可加性。(2)用近似，误差应是的高阶无穷小。只有这样，和式的极限方才是精确值。故关键是确定通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。二、元素法1．能用定积分计算的量，应满足下列三个条件(1)与变量的变化区间有关；(2)对于区间具有可加性；(3)部分量可近似地表示成。2．写出计算的定积分表达式步骤(1)根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；(2)设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，求出它所对应的部分量的近似值(为上一连续函数)则称为量的元素，且记作。(3)以的元

3、素作被积表达式，以为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式因此，也称此法为微元法。小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）作业：作业卡第二节平面图形的面积教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算教学难点：面积元素的选取教学内容：一、直角坐标的情形由曲线及直线与()与轴所围成的曲边梯形面积。其中：为面积元素。由曲线与及直线，()且所围成的图形面积。其中：为面积元素。例1计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程,得交点：和。2.选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3.

4、给出面积元素在上，在上，4.列定积分表达式另解：若选取为积分变量，则显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。例2求椭圆所围成的面积。解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则，故(*)作变量替换则，(**)二、极坐标情形设平面图形是由曲线及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。的面积可近似地用半径为，中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即从而得到了曲边梯形的面积元素从而例3计算心脏线所围成的图形面积。解：由于心脏线关于极轴对称，小结

5、:求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积.作业:作业卡P67~P68第三节体积教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积教学重点：体积的计算教学难点：体积元素的选取教学内容：一、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积元素为所求的旋转体的体积为例1求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的

6、体积。解：取为积分变量，则二、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为轴，且设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内，以表示过点且垂直于轴的截面面积。取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积。即：体积元素为于是，该立体的体积为例2计算椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积。解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转所生成的立体。在处，用垂直于轴的平面去截立体所得

7、截面积为例3计算摆线的一拱以及所围成的平面图形绕轴旋转而生成的立体的体积。解：请自行计算定积分小结:旋转体体积平行截面已知的立体的体积作业:作业卡P69第四节平面曲线的弧长教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长，教学重点：平面曲线弧长的计算教学难点：弧长元素的选取教学内容：一、直角坐标情形设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。于是，弧长元素为弧长为例1计算曲线的弧长。解：二、参数方程的情形若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式

8、，从而有例