定积分的应用(3)(1)

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1、第六章定积分的应用回顾：曲边梯形面积的求法设曲边梯形是由直线轴及顶部曲线围成（如图），求曲边梯形的面积。第一步：分割。在区间内任意插入个分点，将任意分割成个小区间，即将曲边梯形任意分割成个小曲边梯形。记每一个小区间的长度记为；第二步：近似替代。在第一个小区间内任意取一点27，以小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积：；第三步：求和。曲边梯形的面积；第四步；求极限。令，当时，所有小矩形的面积和无限逼近于曲边梯形的面积。即从上面的过程发现：（1）曲边梯形的面积A与的变化区间有关；（2）面积A对区间具有可加性：；（3）27；则曲边梯形的面积，相当于将区间分成

2、个小区间，任取一个小区间记为，相对于这个小区间的曲边梯形的面积，然后以为被积表达式在上作定积分得．将此方法推广到一般情形，就是微元法。第一节定积分的元素法若所求的量Q符合下列条件：（1）Q与的变化区间27有关；（2）Q对区间具有可加性；（3）．那么，Q就可以用定积分来表示，其方法为：第一步：将区间分成个小区间，任取一个小区间记为，求出相应于这个小区间的部分量（也称为Q的元素）；第二步：以Q的元素为被积表达式在上作定积分得．例如：（1）曲边梯形的面积：在上任意一点上的面积微元27就是以为长，为宽的矩形的面积，从而有．（2）变速直线运动的路程：在上任一时

3、刻的运动速度是，运动时间是，则在时间内物体运动的路程微元，从而在上运动的总路程．（3）电量计算：在上任一时刻的电量微元是时刻上的电流乘时间，即，从而在27时间段上的总电量为．第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形（1）由曲线和及直线围成的平面图形的面积为：27（2）由曲线和（）及直线（）围成的平面图形的面积为：27例：求两条抛物线，所围成图形的面积。提示：求出两曲线的交点分别为，方法一（视曲线为上下型）：27方法二（视曲线为左右型）：例：求抛物线与直线围成图形的面积。提示：求出抛物线与直线的交点坐标为A（2，-2），B（8，4）

4、方法一（视曲线为左右型）：方法二（视曲线为上下型）：27综合可得：利用定积分求平面图形面积和步骤为：第一步：作草图，求曲线的交点；第二步：确定积分变量和积分限；第三步：利用相应的公式计算。（3）曲边由参数方程给出，则围成的图形的面积为：例：求椭圆的面积。27提示：椭圆的参数方程为第一象限部分的面积为所以，椭圆的面积2．极坐标情形由曲线和射线围成的图形的面积例：求双纽线所围成图形的面积。（）27提示：在第一象限内此曲线在0点处的切线与轴成角，所以，第一象限部分图形的面积等于全面积的，27例：求心脏线围成图形的面积提示：令轴上方图形的面积为，则心脏线围成

5、图形的面积为27二、体积1．旋转体的体积（1）由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积为②由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积为例：求底半径为，高为的圆锥的体积提示：以圆锥的顶为坐标原点，高所在的直线为轴（如图）27直线OA的方程为旋转体的体积为27例：求椭圆围绕轴旋转一周所得椭球体的体积。提示：椭球体可以视为上半椭圆围绕轴旋转一周所得，其体积为：27注：当时，得球体的体积2．平行截面积为已知的立体的体积设已知立体为封闭曲面所围成，且已知垂直于某一直线的平面在该立体上所截得的面积，如果取此直线为轴，

6、且立体位于平面之间，则过点作垂直于轴的平面截该立体所得平面的面积为，那么，此立体的体积为27例：求以半径为的圆为底，以平行于该圆且长度等于该圆直径的线段为顶，高为的正劈锥体的体积。提示：取底圆所在平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥的顶平行，底圆方程为，过轴上的点作垂直于轴的平面，截正劈锥得等腰三角形。截面的面积为，于是所求正劈锥体的体积为27例：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面所成角度为，求平面截圆柱体所得立体的体积。提示：取这个平面与圆柱体的底面交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，那么，底圆的方程为，立体中过轴上的点且垂直

7、于轴的截面是一个直角三角形，它的两条直角边长分别为和，即和，因而截面的面积为，于是所求立体的体积为27三、平面曲线的弧长1．定义：设A，B是曲线弧的两个端点，在弧上依次任意插入个分点：依次连接相邻的分点得一折线，则第个小曲线弧的弧长，从而弧的长为27令，若存在，则称此极限为曲线弧的长度，也称此曲线弧是可求长的。2计算（1）曲线在上的弧长为例：求曲线的弧长27提示：（2）曲线()的弧长为例：求摆线的一拱（）的长度提示：27（3）曲线的弧长为例：求阿基米德螺线相应于一段的弧长提示：27四、旋转曲面的面积母线()绕轴旋转一周而成的旋转曲面的面积例：求绕轴旋

8、转一周而成的旋转抛物面的面积提示：27第三节定积分在物理上的应用1．变力沿直线作的功设物体在水平力作用下由轴