定积分的应用(3)

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1、内容一．平面图形的面积1.直角坐标系下图形的面积2.边界曲线为参数方程的图形面积3.极坐标系下平面图形的面积二．立体的体积1.已知平行截面的立体体积2.旋转体的体积三．平面曲线的弧长四．定积分在物理上的应用l定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积：yaobx图5.8(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.用微元法求面积.①取为积分变量，.②在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得

2、面积元素.③写出积分表达式，即.⑶求由两条曲线，及直线所围成平oxydy+dyyc面图形（如图5.9）的面积.这里取为积分变量，，用类似(2)的方法可以推出：.例5.4.1求由曲线与图5.9所围图形的面积.解先画出所围的图形（如图5.10）由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得.o28xA(2,-2)y4-2B(8,4)图5.11o12xyA(1,1)图5.10例5.4.2求曲线与所围图形的面积.解画出所围的图形（如图5.11）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲

3、线方程分别改写为得所求面积为.例5.4.3求曲线在区间上所围平面图形的面积.解如图5.12所示，曲线的交点坐标为，选取作为积分变量，，于是，所求面积为.0xy图5.122.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程与射线所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形的面积，从而得面积微元为于是，所求曲边扇形的面积为.O2ax图5.14xo图5.13例5.4.4计算心形线所围图形的面积（如图5.14）.解此

4、图形对称于极轴，因此所求图形的面积是极轴上方部分图形面积的两倍.对于极轴上方部分图形，取为积分变量，，由上述公式得：.3．定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为.oxydy+dyyy图5.16coaxx+dx

5、bxy图5.15类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为.例5.4.5求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解(1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,,由公式所求椭球体的体积为.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图5.18所示）,取为积分变量,,由公式所求椭球体体积为boxy图5.18-b.当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)

6、平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图5.19）.oaxx+dxbx图5.19取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作为底，为高的柱片，从而得到体积元素.于是该物体的体积为.4.平面曲线的弧长的计算(1)曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:所求弧长例41求由曲线

7、，，，所围成的图形的面积．分析若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以为积分变量．解选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为==．于是所求面积为=．例42抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分，，记它们的面积分别为，，则有图5－15－1图5－2===，=，于是==．例43求心形线与圆所围公共部分的面积．分析心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积

8、即可．解求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为图5－3==．例44求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为．又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为图5－4==．由于==，令，解得驻点．当时，而当时．故当时，取得极小值．由于驻点唯一．故当时，取得最小值．此时切线方程为：．例45求圆域