定积分的应用(2)

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1、4.6定积分的应用课题：定积分的应用目的要求：掌握定积分的微元法，能用于列写某些几何量和物理量的定积分表达式重点：求平面图形的面积及绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积难点：定积分的微元法教学方法：讲练结合教学时数：4课时教学进程：定积分有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学上．下面介绍一些典型的应用实例．一、微元法应用定积分理论解决实际问题的第一步是将实际问题化为定积分的计算问题，这一步是关键，也较为困难．下面介绍将实际问题化为定积分的计算问题的方法．定积分的所有应用问题都具有一个固定的模式：求与某个区间上的

2、变量有关的总量．这个量可以是面积，体积，弧长，功等．我们用如下的步骤去确定这个量．(1)分割．用分点将分为个子区间．(2)近似．找一个连续函数，使得在第个子区间上，可以用量　　　　，　，　来近似，这一步是问题的核心．(3)求和．将所有这些近似量加起来，得总量的近似值　　　　　，　．(4)取极限．当分割无限细密时，得出．对上面的求积过程可作如下的较为简捷的处理．用代替，用代替，和号用积分号代替，即用　　　　　　代替　　．我们已经指出，第二步的“近似”是关键．我们在具有代表性的任一小区间上，以“匀代不匀”找出

3、微分　　　　　　　　然后从到积分，就可求出量．这种在微小的局部上进行数量分析的方法叫做微元法．例如，已知质点运动的速度为，计算在时间间隔上质点所走过的路程．任取一小段时间间隔，在这一段时间内，以匀速代变速，得到路程的微分　　　　　　　　　，有了这个微分式，只要从到积分，就得到质点在这段时间内走过的路程．二、平面图形的面积1．计算直角坐标系中平面图形的面积(１)设连续函数和满足条件，　．求曲线，及直线所围成的平面图形的面积（图1）．用微元法求．第一步　在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积

4、可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是　　　　　　　．第二步　在区间上将无限求和，得到图2．　(1)图1类似地，用微元法可得：(２)由连续曲线、（）与直线、所围成的平面图形（图2）的面积为：．　　(2)例１　计算两条抛物线与所围成的面积．解　求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：得交点(0,0)和(1,1)．选取为积分变量，则积分区间为，根据公式(1)，所求的面积为．图4图3一般地，求解面积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的

5、交点，确定积分变量和积分限．(2)写出积分公式．(1)计算定积分．例２　求由曲线与直线所围成的平面图形的面积．解　作图(图4)，解方程组　　　　得两条曲线的交点坐标为(2,-2)，(8,4)．选取为积分变量，积分区间为[-2,4]．根据公式(2)，所求的面积为　图5　　=18例3　求椭圆所围成的面积．解　如（图5）这椭圆关于两坐标轴都对称，所以，所求的面积为．应用定积分的换元积分法，令，则．当时，当时，所以　　　　　．即椭圆的面积等于．这可以作为公式使用．一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程给出时，且在（或

6、）上具有连续导数，连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为．图62．计算极坐标系中平面图形的面积某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积比较方便．设由曲线及射线围成一图形（简称为曲边扇形），现在要计算它的面积（图6）．这里在上连续，且．用微元法推导计算面积的公式．取极角为积分变量，它的变化区间为．相应于任一小区间的窄曲边扇形的面积可以用半径为、中心角为的圆扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积微元　　　　　　　　．从而得所求曲边扇形的面积为．　　

7、　　　(3)例4　求心形线所围图形的面积．解　用公式(3)计算．由于图形关于极轴对称（图7），所以所求面积为图7．三、旋转体的体积由平面图形绕定直线旋转一周生成的立体称为旋转体，定直线称为旋转轴．下面我们只讨论旋转轴是坐标轴的情形．1.连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体（图8）体积可用微元法求得：在区间上任取一子区间（图8），将该子区间上的旋转体视作底面积为、高为的薄圆柱，得体积微元，则旋转体的体积为．　　　　　　　　(4)图9图8类似地可得：1．连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形

8、绕轴旋转一周生成的旋转体（图9）体积为．(5)图10例5　求由椭圆所围成的图形分别绕轴和轴旋转所生成的旋转体(图10)的体积．解由于椭圆关于坐标轴对称，所以所求的体积是椭圆在第一象限内形成的曲边梯形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积的二倍，即绕轴旋转时，由公式(4)得绕轴旋转时，由公式(5)得．小结本讲内容：1、定积分的微元法。2、用微元法推出的平面图形的面积公式和旋转体的体积公式。3、可以按照相应的公式和步骤求平面图形的面积和旋