一道数列高考试题的渊源与解法探索

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1、一道数列高考试题的渊源与解法探索摘要：通过对2014年高考数学新课程（理科）卷二的数列解答题的渊源分析与解法探索，对数列的一个经典问题进行多角度的剖析，期待能引发广大数学教师对课程标准、教材以及高中数学解题教学的思考，努力使解题教学更贴近学生的思维，提高解题教学的实效性.关键词：递推数列；构造法；主体部分拆分法2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨.笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊

2、源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.（2014•新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：[?]对本题第（I）问的思考首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度.所以，第(I)问不存在“超标”的说法.其次，再从教材的角度来看，第(I)问的题目原型是普通高中数学课程标

3、准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列｛an｝中，al=5，a2=2,an=2an-l+3an-2(n^3),求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：由an=2an-l+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-l+an-2),移项得an-3an_l=-(an-l_3an_2)，所以｛an-3an-1｝是等比数列.由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材一一人教版高中数学代数下册的复习参考题：“

4、已知an+l=b，c•an+d，求数列的前4项及其通项公式.”对于问题(I)，其解题起点在于对递推关系式an=3an_l+l的观察，与an=3an_l相比，多了一个常数项1，而an=3an-l是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向__构造以公比为3的等比数列.数学归纳法的证明过程在此不再赘述.对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.以上三种方法比较，显然参考答

5、案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.[?]对2014高考新课标卷二17题的第（II）问的思考这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看.笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题.那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才

6、能得到3k-1^2X3k-l?这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远.基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++%+=++…+