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时间:2018-08-05
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1、一道几何题的解法探索海南省文昌中学邓之淮对于数学这门学科,许多学生特别喜欢,也有许多学生感到特别头痛,之所以喜欢,是因为他们领悟到了数学学习的方法。对于数学学习,虽然有数学天赋之说,但数学学习经验的积累与数学学习的方法领悟更为重要。在数学学习上,看你是否有耐性静下心来认真深入地去分析,这是喜欢上数学的关键,对数学问题,如果你能静下心来分析与欣赏,你就会看到其中包含的数学思想与方法,存在的困惑也会迎韧而解,而且你还会衍生出更多的思考与想法,你就会看到数学原来是如此的有趣与美丽,那你也就跨进了数学的大门,也就是说你顿悟到了学习数学的“窍门”。下面随我去看看一道几何题的
2、解答:如图,在△ABC中,点D、E分别是AB与BC的中点,AE与CD相交于点F求证:ABCDEF对于许多学生在讲,这道题目并不难,可是只要认真地去分析与思考,这道题目竟然会如此的“博大”,其所包含的思想与方法竟会如此丰富…。ABCDEF图1思考一:如图1,连结DE,可得到从而可证出ABCDEFG图2思考二:如图2,过点D作DG//BC交AE于点G可得到从而可证出,,ABCDEFG图3从而有思考三:如图3,过点E作EG//AB交CD于点G用与“思考二”同样的方法可以证出点评:思考一到思考三都是围绕着点D、E分别是边AB、BC的中点这个条件,构造与三角形三边的平行线来
3、获得解答,当然如果综合“思考二”与“思考三”辅助线的构造方法,即“过点D作DG//BC交AE于点G,过点E作EG//AB交CD于点H”4添加两条辅助线,其证法会更加直接些。思考与猜想:过中点D、E分别作AE与CD的平行线能否获得别的证明方法?ABCDEFG图4思考四:如图4,过点D作DG//AE交BC于点G可得到,,从而从而,,ABCDEFG图5所以可得思考五:如图5,过点E作EG//CD交AB于点G可得到,,从而这样用与“思考四”同理的方法可证出点评:思考四与思考五的做法都是围绕着“中点”这个条件添加辅助线,如果添加两条辅助线,即“过点D作DG//AE交BC于点
4、G,过点E作EG//CD交AB于点H”,也就是综合图4与图5辅助线的添加方法,则线段与线段之间的数量关系更为明显,如、。分析“思考一”到“思考五”,其方法都是在△ABC的内部作平行线构造比例,如果我们把眼光移到△ABC的外部,则可以发现更广阔的“天地”:思考六:如图6,过点B作BG//AE交CD的延长线于点GABCDEFG图6可得到△BDG≌△ADF,,所以AF=BG,DG=DF所以所以由DG=DF可得CF=FG=2DFABCDEFG如图7即CD=3DF,所以有所以思考七:如图7,过点B作BG//CD交AE的延长线于点G,用与思考六同样的方法可以证明点评:思考六与
5、思考七是在三角形的外部添加辅助线,过三角形的顶点B分别构造中线AE与CD的平行线而获得证明方法;类似地把眼光移到过点A、点C,可以思考与猜想:过点A、点C分别构造CD与AE的平行线,是否也可以发现其它的方法?4答案是肯定的,经过偿试、分析与筛选,可以发现“思考八与思考九”两种方法:ABCDEFG图8思考八:如图8,过点A作AG//CD交BC的延长线于点G,可得到,由,可得ABCDEFG图9,,所以,所以思考九:如图9,过点C作CG//AE交BA的延长线于点G,可得到,所以用与思考八同理证法可证得点评:在几何题的证明过程中,变换视角,往往可以把思维从一个空间扩展到另
6、一个空间,从而获得不同的求解方法。思考六到思考九这四种方法,其都是过三角形的三个顶点构造三角形两条中线的平行线,再做一个合情推理与猜想,可以想得到过三角形的三个顶点A、B、C分别作三角形的三条边BC、AC、AB的平行线也许还能获得另外的证明方法,如:ABCDEFG图10思考十:如图10,过点A作AG//BC交CD的延长线于点G则可以得到△BCD≌△AGD,则有,,ABCDEFG图11则,所以所以思考十一:如图11,过点C作CG//AB交AE的延长线于点G则可以证明△ABE≌△GCE,用与思考十同理的方法可证出思考十二:如图12,过点B作GH//AC交AE的延长线于
7、点G,交CD延长线于点H可以证明△BHD≌△ACD,△BGE≌△CAE,则,4HABCDEFG图12所以,所以,同理可证所以点评:把视角放在三角形的内部,得到了“思考一到思考五”五种证法,而把视角移到三角形的外部又获得了“思考六到思考十二”七种证明方法,这十二种方法都是靠构造平行线来获得的,当然并不是随意的构造平行线都能得到正确的证法,必须围绕着题目所给的条件去分析与尝试、去思考与筛选。这道题的证明方法如此之多,是否还有别的方法?抛开构造“平行线”,考虑“中点”这个条件与等积问题,还可以发现其思维的空间还未就此停止,如:思考十三:如图13,连结BF,并延长BF交A
8、C于点G,
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