一道高考数列题的四种解法

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1、一道高考数列题的四种解法澄江一中普翠平数列的解答题目高考勤制度中常常可以从多种角度多种思路求解,很灵活.下面以一道高考数列题为例,析几种都求解策略。题目已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≧2),证明：一、利用累加法证明形如an-an-1=f(n),（其中f(n)是易求和数列）适合此法。证明：∵an=3n-1+an-1∴an-an-1=3n-1an-1-an-2=3n-2……a3-a2=32a2-a1=31n-1个式子相加：an-a１＝31＋32…＋3n-1＝∵a1=1∴an=+1∴an=二、直接构造等比数列法把原等式等价变形为an+KAn

2、=B(an-1+KAn-1)类，求an。证明：∵an=3n-1+an-1∴an+k3n=an-1+k·3n-1由待定系数法知:K=-∴an-=an-1-∴数列{an-}是以a1-=1-=-为首项,公比为1的等比数列∴{an-}=-(1)n-1∴an=一、简接构造等比数列法原等式变形为Aan=Ban-1+C(A,B,C为常数)，再转化为等比数列。证明：∵an=3n-1+an-1∴an=an-1+3n-1等式两边同除以3n得:∴∴由待定系数法知:L=∴原等式可变形为:∴∴数列是以为首项,公比为的等比数列。∴∴an=四、数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一

3、种方法。数列中的项与自然数有关，很显然数学归纳法也就成了证明数列命题目的行之有效的方法之一。证明：（1）当n=1时，a1=,由已知a1=1,∴等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即ak=当n=k+1时，由递推公式知：∴∴也就是说当n=k+1时等式也成立。由（1）、（2）知对任意的n∈N+等式成立∴这个高考题的四种解法给我们余音绕梁、回味无穷之感。前三种解法为我们展示了数列通项公式的三种求法，第四种方法如果题目改为求an，也就可以成为数列中“计算→归纳→猜想→证明”类的题型。从这一高考题也可以知道数列题目的灵活多变、高考数列题目的博大精深。要很好掌握数列的通项公

4、式的求法，必须深刻理解等差数列、等比数列的定义。因为高考题中的等差、等比不管是“显性”还是“隐性”是无处不在的。这也是这道高考题给我们的启示。