一道古典概型试题的四种解法.doc

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1、一道古典概型试题的四种解法在平时的学习过程中，要善于从多个角度、用不同方法分析、解答同一道题，来培养同学们的探究能力、创新能力，以及发散思维能力；下面我们用多种方法探讨一道古典概型问题，帮助大家更透彻的理解古典概率模型中的一类问题。题目：4位先生将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每个人随意取走一顶帽子,记事件为“4位先生拿到的都不是自己的帽子”求事件的概率是_____.解法一：假设四位先生依次为甲、乙、丙、丁，其对应的帽子分别编号为1、2、3、4，先约定按照甲、乙、丙、丁依次排好，将帽子进行排列后，

2、各取所对应的帽子；则帽子有多少种排列方法就有多少个基本事件，下面用树形图将结果直观的展现出来。24232112331313122321421124414141232343113441414133134322344242423取帽顺序为（甲、乙、丙、丁），则所有基本事件为：（1、2、3、4）、（1、2、4、3）、（1、3、2、4）、（1、3、4、2）、（1、4、2、3）、（1、4、3、2）、（2、1、3、4）、（2、1、4、3）、（2、3、1、4）、（2、3、4、1）、（2、4、1、3）、（2、4、3、

3、1）、（3、1、2、4）、（3、1、4、2）、（3、2、1、4）、（3、2、4、1）、（3、4、1、2）、（3、4、2、1）、（4、1、2、3）、（4、1、3、2）、（4、2、1、3）、（4、2、3、1）、（4、3、1、2）、（4、3、2、1）.基本事件总数为24个.事件包含的基本事件为：（2、1、4、3）、（2、3、4、1）、（2、4、1、3）、（3、1、4、2）、（3、4、1、2）、（3、4、2、1）、（4、1、2、3）、（4、3、1、2）、（4、3、2、1），事件所包含基本事件数为9，因此事件发

4、生的概率.解法二：4人都拿不到自己的帽子：假设甲先拿，拿不到自己帽子的拿法有三种。若甲拿到的是乙的帽子，则乙肯定拿不到自己的帽子，乙在剩下的3个帽子里再拿走1顶，同样有三种不同的拿法。若乙拿走的是甲的帽子，四人都拿不到自己的帽子只能是丙拿走了丁的帽子，丁拿走丙的帽子；若乙拿走的是丙（丁）的帽子，则丙（丁）只能拿丁（丙）的，丁（丙）拿走甲的帽子，这样四人才能都拿不到自己的帽子；本质上，4人都拿不到自己的帽子这个问题，在前两个人帽子选定的同时，后两个人的帽子已经确定。因为在任何一种甲取帽子的情况下，乙都有

5、三种不同的取帽子的方法；所以，四个人都拿不到自己帽子的拿法共计：，基本事件总数为24.因此事件发生的概率.解法三：用容斥原理（见人教新课标必修1第13、14页，集合中元素的个数）来解；如图四个有公共元素的集合中，用全集U表示事件“四人分别去拿四顶帽子”所包含的全部基本事件，共计24个；集合A表示甲拿到自己的帽子（不去考虑其他人是否拿到自己的帽子），同理：集合B、C、D分别表示乙、丙、丁拿到自己帽子，它们的公共部分表示他们都拿到自己帽子的情况；则四个人都没拿到自己帽子用A、B、C、D四个集合的并集在全集

6、U中的补集来表示；其中集合A：甲拿到自己帽子（实质上就是乙、丙、丁三人分别去拿三顶帽子这一事件）包含6个基本事件，同理可得集合B、C、D各包含6个基本事件；共计个；两人同时拿到自己帽子（共有6类分别为：（甲、乙），(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)）（如：甲、乙；即集合所示）包含2个基本事件（甲、乙、丙、丁分别拿到自己的帽子；甲、乙分别拿到自己的帽子，而丙、丁都拿到的是对方的帽子）；共计包含基本事件种；任意三人拿到自己的帽子(如甲、乙、丙；即集合)包含基本事件1个，共计四类分别

7、为：（甲、乙、丙），（甲、乙、丁）（甲、丙、丁），（乙、丙、丁）共计包含基本事件个；四人都拿到自己帽子（即集合）包含1个基本事件.根据容斥原理：则四人均未拿到自己的帽子（即集合）共包含基本事件个数为:基本事件总数为24.因此事件发生的概率。请同学们开动脑筋，试一试，用容斥原理能不能推导出“五位先生都没有拿到自己的帽子”的概率是多少？实际上n位先生都没有拿到自己的帽子的概率可以用公式来求。注解本题是典型的错位排列问题，根据n个元素错位排列所包含的基本事件数的公用排列组合及容斥原理来解释四个元素的错位排列

8、公式（以上边题目为例）：一、：甲拿到自己帽子（实质上就是乙、丙、丁三人分别去拿三顶帽子这一事件），，此类事件共有种。二、:甲和乙都拿到了自己的帽子（丙、丁分别去拿剩下的两顶帽子）,此类事件共有种，故三、:甲、乙、丙都拿到了自己的帽子（丁也只能拿到自己的帽子）只有一种情况；此类事件共有种四、:甲、乙、丙、丁都拿到了自己的帽子只有一种情况；此类事件共有种总之：由此四元错位排列问题不难得出n元错位排列问题的公式：