古典概型典型解法总结--

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1、【标题】古典概型典型解法总结【作者】马伟【关键词】随机试验古典概率【指导老师】张亚莉【专业】数学教育【正文】1、引言1.1随机试验与事件、样本空间对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学试验，为了叙述方便，我们统称为试验。例如，掷一枚硬币，观察哪一面朝上；向一FI标进行射击，观察是否命中；从一批产品中随机抽一产品，检查它是否合格；向坐标平面内任投一根针,测量此针的针尖指向与X轴正向之间的夹角，等等；这些都是试验。仔细分析，这些试验具有如下共特点：@)试验可以在相同条件下重复进行；(b)试验所有可能的结果不止一个，而且是事先己知的；(

2、c)每次试验总是恰好出现这些可能的结果屮的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不可能确切预言。如掷破币的例子，试验可以在相同条件下重复进行的，试验的可能结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其屮之一，但投掷Z前是不可能预言正面出现还是反面出现。我们将满足上述三个条件的试验，称为随机试验，简称试验，以字母E表示。一般说，随机试验的每一个可能结果，称为基本事件，而由多个基本事件组成的事件，称为复合事件。为了利用点集的知识来描述随机事件，我们引进样本空间的定义。由于随机试验的所有可能结果的是己知的，从而所有的基本事件也是己知的。我们将基本事件的全体

3、，称为随机事件的样本空间，记为S；基本事件也称为样本点，用e表示。另外，为了研究事件发生的可能性，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小，我们就把刻画这种可能性大小的数值叫做事件的概率。事件A、B、C、…的概率分别用P(A)、P(B)、P(C)、…表示。由此可知，概率是随机事件的函数。1.2古典概率的定义先看一个简单的例子，投掷一均匀的硬币，出现正面和出现反面这两个事件的概率。由于硕币是均匀的，因而出现正面和出现反面的可能性是一样的。因此我们有理由认为出现正面和出现反面这两个事件的概率都是。这个例子具有下面两个特点：(1)样本空间包含的基本事

4、件是有限的；(2)每个基本事件发生的可能性是相等的。具有上述两个特点的试验，叫做古典概型试验，它是概率论初期研究的主要对象,一般具有下面的定义。设E为一试验，若它的样本空间S满足下面两个条件：(1)只有有限个基本事件；(2)每个基本事件发生的可能性是相等的。则称E为古典概型的试验。在古典概型的情况下，事件(A)的概率定义为：P(A)=1.3古典概率的性质事件的古典概率具有如下性质：(1)对任一事件A,有0WP⑷W1；⑵P(S)=1；(3)若A、B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B)；⑷P()二1一P(A)。注：上述概率的各个性质，对计

5、算时间的概率很有好处。例如直接计算P(A)比较麻烦而计算P()比较方便时，就可以先求P()，然后利用性质(4)求P(A)。2古典概率的计算古典概型概率计算的要点是：给定样本点，并计算它的总数，然后再计算事件A屮包含的样本点数。这就归结为计数问题。计数的基本工具主要是两个基本原理和排列组合方法。2.1计数方法1.1.1乘法原理设执行程序可用种方法去完成，执行程序可用种方法去完成。假定执行的每一种方法后可继而执行的每一种方法，则由继而接的整个程序可用X种方法去完成。该计数法则称为乘法原理。注：这个原理可推广到任何有限程序的情形。例1.1制成某产品

6、必须通过三个控制台，每个控制台对产品作一项特性检查并作出相应的标记。第一个控制台有3个可能的等级，后两个控制台各有4种可能的等级,则产品可能打上的记号共有多少种？解产品通过每一个程序(控制台)时被分别打上记号，因为第一个程序有三种方法(等级)，笫二个程序有4种方法，第三个程序有4种方法。由乘法原理知，可能打上的标记共有N二3X4X4=48(种)例1.2把r个球放到n只盒子中去，试问有多少种不同的方法？解这相当于为每个球选择一只盒子，每个球都有n个盒子可放。由乘法原理知：r个球的不同方法有N/(种)二nXnX•••Xn=2.1.2加法原理设程序

7、可用种方法去完成，程序可用种方法去完成，且不能同时执行和，那么能完成或的方法共有+种，这种法则叫做加法原理。注：这一原理也可推广到有限个程序的情形。例2.1从甲地到乙地有三条汽车路线和两条火车路线，试问从甲地到乙地共有多少条路线可走？解这相当于对程序(乘汽车)来说由三种方法，对程序来说有两种方法。由加法原理知，从甲地到乙地共有N=3+2=5条路线可走。2.1.3关于有序样本在概率计算的问题中，我们常常遇到将元素一个一个的选择出來，这样就与顺序有关，它有两种选择的方式：（1）有放回的抽样。由于选出来纪录后乂放冋去，因此元素允许被重复选取。如果从

8、n个元素中选取『个元素，则由乘法原理知共有N二个容量为r的样本。（2）不放回抽样。这是元素取岀后就不再放回，故元素就不可能被重复选到。因此样本容量就不可能超过总体容