古典概型和几何概型

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第四节　古典概型和几何概型 基础梳理1.基本事件在一次试验中可能出现的每一个________称为基本事件．2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型．(1)所有的基本事件__________；(2)每个基本事件的发生都是__________． 3.古典概型的概率如果一次试验的________基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是________．如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=________.4.几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是______、________、________等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． 5.几何概型的特点(1)无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是________．(2)等可能性：即每个基本事件发生的可能性是________．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(体积、长度)”之比来表示．6.几何概型的计算公式一般地，在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=. 7.几何概型与古典概型的区别与联系(1)共同点：________________.(2)不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．答案：1.基本结果2.(1)只有有限个(2)等可能的3.等可能4.线段　平面图形　立体图形5.(1)无限的(2)均等的7.(1)基本事件都是等可能的 基础达标1.下列概率模型中，是古典概型的有________．①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取出一个整数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．2.(教材改编题)从含有100个个体的总体中，一次性抽出20个个体，假定每个个体被抽到的概率相等，则总体中某个个体被抽到的概率为________．3.在线段[0,3]上任意取一点，则此点坐标不大于2的概率是________． 4.(教材改编题)在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率________．5.在一杯2升的水中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.3升水，则小杯中含有这个细菌的概率是________.解析：本题主要考查相关概念．2.解析：由题意知，总体由差异比较明显的几部分组成，在抽样时需采用分层抽样；分层后农民家庭中个体的数量仍然较大，适宜采用系统抽样；工人家庭、知识分子家庭需采用简单随机抽样剔除部分个体．故本题应选①②③.答案：①②③...... 3.900解析：高二年级抽15人，设该校学生总数是x人，则＝，所以x＝900.4.30,45,15解析：甲校应抽取人数是×90＝30，乙校应抽取人数是×90＝45，丙校应抽取人数是×90＝15.5.550解析：采用系统抽样应剔除3人，样本容量为50，故分段间隔k为5. 经典例题题型一　古典概型的概念【例1】判断下列命题正确与否．(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说：一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是.(2)射击运动员向一靶心进行射击．试验的结果为：命中10环，命中9环，…，命中0环，这个试验是古典概型．(3)袋中装有大小均匀的四个红球、三个白球、两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(4)四个人抽4个签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．解 ①将100件轴编号为1,2，…，100；方法一(抽签法)：②做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码；③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；④逐个抽取10个号签；⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本.方法二(随机数表法)：①将100件轴编号为00,01，…，99；②在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开(见教材附录1：随机数表)；③规定读数的方向，如向右读；④依次选取10个数为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本. 题型二　求古典概型的基本事件【例2】从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的验中，有哪些基本事件？解　可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下：第一步，将905辆轿车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除5辆(剔除法可用随机数表法)，将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002，…，900)并分成90段；第三步，在第一段001,002，…，010这10个编号中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码(如006)；第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本． 题型三　用枚举法求简单古典概型的概率【例3】(2011×苏北四市联考)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________．解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：(1)分层：按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工，35岁至49岁的职工，50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25人，在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56人，在50岁以上的职工中抽取95×＝19人. 变式3-1某市一公交线路某区间内共设置六个站点(如图所示)，分别为A0、A1、A2、A3、A4、A5，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点Ai(i=1,2,3,4,5)下车是等可能的.求：(1)甲在A2站点下车的概率；(2)甲、乙两人不在同一站点下车的概率． .答案：40,60,100解析：三个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.在A、B、C三个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40,200×＝60，200×＝100 题型四　用排列组合知识求古典概型的概率【例4】下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是________．解 解　左端的6个点平均分成三组(无序)有种方法，右端的6个点平均分成三组(无序)也有种方法，所以基本事件数是2种，基本事件中使得这五个接收器能同时接收到信号(即5个接受器与信号源串联)的方法数是A种．故p＝＝. 变式4-1如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，同时以每10分钟一格的速度分别向N，M处行走，直到到达N，M为止．(1)求甲经过A2的概率；(2)求甲、乙两人相遇经A2点的概率． (1)甲经过A2到达，可分为两步：第一步：甲从M经过A2的方法数为种；第二步：甲从A2到N的方法数为种；所以甲经过A2的方法数为()2；所以甲经过A2的概率P＝＝.(2)由(1)知：甲经过A2的方法数为()2；乙经过A2的方法数也为()2；所以甲、乙两人相遇经A2点的方法数为()4＝81；甲、乙两人相遇经A2点的概率P＝＝. 题型五　求一维几何概型的概率【例5】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径是r(ra的概率是________．知识准备：1.会利用列举法一一列举出来各种情况；2.会利用古典概率公式求解．解析：从集合{1,2,3,4,5}中取一个数a有5种取法，从集合{1,2,3}中取一个数b有3种取法，使b>a有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种，所以所求概率P=. 3.(2010·山东)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n