一道数列高考试题的渊源与解法探索——试析递推数列的一个典型问题的非典型解答.pdf

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1、试题研究>试题探究数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱院sxjk@vip.163.com一道数列高考试题的渊源与解法探索———试析递推数列的一个典型问题的非典型解答赵涛蔡芙蓉海南华侨中学570206海南海口市教育研究培训院570206摘要院通过对2014年高考数学新课程（理科）卷二的数列解答题的渊源分析与解法探索袁对数列的一个经谊中典问题进行多角度的剖析袁期待能引发广大数学教师对课程标准尧教材以及高中数学解题教学的思等教考袁努力使解题教学更贴近学生的思维袁提高解题教学的实效性.育关键词院递推数列曰构造法曰主体部分拆分法2014年高考尘埃落定袁许多理科

2、考12标准教科书人教A版教材必修5第69页渊域冤由渊玉冤可知袁=.a3n-1生袁数学教师均对新课标高考数学（理n数列复习参考题组第6题院野已知数列因为当n逸1时袁3n原1逸2伊3n-1袁所以科）卷二中的数列解答题议论纷纷袁学喳葬n札中袁a1=5袁a2=2袁an=2an-1+3an-2渊n逸3冤袁生都在抱怨袁教师高呼超纲超标袁笔者1臆1.求这个数列的通项公式冶.此题的解答就3n原12伊3n-1仔细观察袁发现此题颇值得深入探讨.是通过两边添加项构造辅助的等比数笔者就这个问题袁从课标尧教材以及其于是1+1+噎+1臆1+1+噎+列来解决问题院a1a2an

3、3他省份的历年高考相关试题进行渊源由an=2an-1+3an-2袁得an+an-1=3an-1+3an-2=1313分析与解法探索袁现将我们的思考和读=蓸1原蔀<袁3渊an-1+an-2冤袁移项得an原3an-1=原渊an-1原3an-2冤袁3n原123n2者一起分享.所以喳an原3an-1札是等比数列.由这个辅助1113（2014·新课标高考数学（理科）卷所以++噎+<.数列为突破口就可以解答该题.a1a2an2二解答题第17题和教育部考试中心提本题更远的教材原题背景是来自笔者认真分析了这个问题袁探索其供的参考答案如下院命题角度和解题思路袁尝试

4、找出试题渊1995年以前使用的大纲教材要要要人教版高中数学代数下册的复习参考题院已知数列喳an札满足a1=1袁an+1=3an+1.源.b袁渊玉冤证明a1是等比数列袁并求野已知an+1=嗓求数列的前4项及其嗓n+瑟c窑a+d袁2n喳an札的通项公式曰襛对本题第（Ⅰ）问的思考通项公式.冶1113首先对照叶普通高中数学课程标对于问题渊玉冤袁其解题起点在于对渊域冤证明院++噎+<.a1a2an2准曳（以下简称《标准》）来思考袁叶标准曳递推关系式an=3an-1+1的观察袁与an=3an-1证明院渊玉冤因为a1=1袁an+1=3an+1袁n沂中对等差尧等

5、比数列的通项公式和前n相比袁多了一个常数项1袁而an=3an-1是典项和公式的要求是野掌握冶袁此题中的第型的等比数列袁可以猜想系数3可能与111N*袁所以a+=3a+1+=3蓸a+n+1nn蔀袁一问的要求是通过构造辅助的等比数公比有关袁因而确定问题的转化方222113列来求通项公式袁而且题目中给出辅助向要要要构造以公比为3的等比数列.则嗓an+瑟是首项为a1+=袁公数列袁要求先证明它是等比数列袁再求222如何构造钥可以尝试an+姿=3渊an-1+姿冤比为3的等比数列.通项公式袁实际上已经降低了构造法的的形式袁用待定系数法确定姿袁而本题中根据等比数

6、列的通项公式易得院an+难度.所以袁第渊玉冤问不存在野超标冶的用证明的方式直接给出了姿袁降低了问13n1说法.其次袁再从教材的角度来看袁第题的思维难度.当然如果忽略证明这一=袁所以a=渊3n-1冤.n222渊玉冤问的题目原型是普通高中数学课程步骤袁仅求数列的通项公式袁我们也可50投稿邮箱院sxjk@vip.163.com数学教学通讯（中等教育）试题研究>试题探究以给出以下一些解答院111襛对2014高考新课标卷二大为最大项袁易得臆=（方法1）由an=3an-1+1得an-1=3an-2+1袁1原11-11原117题的第（Ⅱ）问的思考33k3两式相

7、减得院an原an-1=3渊an-1-an-2冤袁这是典型的放缩法证明不等式.在3a2=4袁a2原a1=3袁因此数列喳an-an-1札是袁以下根据等比数列前n项和公式易证.此袁避开放缩法是否超出课程标准考试2首项为3袁公比为3的等比数列.根据等比数列的通项公式易得院a原a=3窑3渊n-1冤-1=大纲不谈袁我们只从数学方法的角度来上述解题思路当中有两个关键点袁nn-13n-1.看.笔者在高考评卷过程中发现考卷中第一院向等比数列转化袁第二袁运用野主能用参考答案这种方法做出正确解答体部分拆分法冶袁拆出主体部分等比数an=渊an-an-1冤+渊an-1-a

8、n-2冤+渊an-2-an-3冤+噎+渊a-a冤+渊a-a冤+a=3n-1+3n-2+3n-3+噎+的并不多见袁笔者认真分析了国家考试列