一个传说中的递推数列问题-论文.pdf

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1、@考点聚焦：一个传说中白ll递椎数列问题■王立仿数列是高中数学中一个重要的内容，也是高考的热点和难点之一。递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，也成了高考命题一L：塾旦：．二：一2(1+)：中颇受青睐的考查内容。笔者由一个古印度传说人^111三+所以数列f—l__}是以—l_：—=1为首项，以手，给出求递推数列通项公式的不动点法，希望能对，5an一1Ⅱ．一12-1教师和同学们有所帮助。为公差的等差数列，则l_：1+(一1)．2在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝，故：拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着2n+8三根宝石针。印度教

2、的主神梵天在创造世界的时候，—2n—+3。在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片评注：本题解题的关键是先求出函()=金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一的不动点，即方程_7x-2I~：1个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移，进而可推动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧出：一+2从而可知数列{—l_l为等差数侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上，n广1％一15a．-1移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。列，再求出数列{__}的通项公式，最后求出数列一l不管这个传说的可信度有多大，

3、如果考虑一下{％1的通项公式。把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终例2已知数列{％J满足％+-==4，求保持上小下大的顺序。这需要至少多少次移动呢?让我们逻辑性地思考一下吧。我们把三根针标号为A，数列{％}的通项公式。B，C。A上叠放着n个不同大小的金片，现在把所有金解：令：—21x-24得一2眦+24：0，则x1=2X2=3片移动到日上，设移动次数为以。__，乱+l从实际的具体的盘子移动过程来分析，找出问是函数厂()：丝的两个不动点。因为：题的内在规律。不管怎样移动盘子(当然按一定规律+1％+i-3移动)，都会出现这样的状态：首先我们肯定是把上21a

4、,一241面n一1个盘子移动到柱子C上，然后把最大的一块放4n+1。21o．一24—2(4(+1)13a,,一2613在曰上，最后把C上的所有金片移动到B上，由此我们二丝一321a．-24—3(41)9a．一279。得递推关系：=1，％=2】+1，(n>l，n∈)。下面我4a．+l们来求一下％，以及a64。解：令x=2x+l，得=一1是函数厂()=2x+l的一个兰，所以数列{三}是以旦二三：—4-—2：2为首项，以0一3‘珥一30】一34—3不动点。因为1=2(1+1)，旦9为公比的等比数歹lj'~a．-_一23=2(罟0，则所以数列{+1l是以0，+1=2为首项

5、，以2为公比的等比数列，+3。故+1=2n，则％=2n1，=264_12(旦)一一1也就是说把64片金片，由一根针上移到另一根9针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要至少评注：本题解题的关键是先求出函数厂()=264—1次移动。—21x-—24‘的不动点即方程：21x-241的两个根：2，，即方程：——的两个根：2，上面求％的方法是不动点法，这种方法常用于+1+1分式的通项递推关系。下面我们通过几个例题来体：：3，进而可推出—o,~+1—-2-,：旦·，从而可知数列会一下不动点法。％+广39一3{}为等比数列，再求出数列{兰)的通项公式，例1已知数列{}满足％，

6、n。=2，求数03一3十j列{％}的通项公式。最后求出数列f的通项公式。上面主要是讨论用不动点的方法来解决数列通解：令：]0c-2，得2x2—4x+2：0，则：1是函数厂【)项问题。当我们知道了数列的递推公式，然后最关心2+3的就是如何求出数列的通项公式，这也是高考中最：的不动点。常见的问题。本文特别关注了用分式数列递推关系+3的数列通项，通过结合不动点方法来解决已知某项因为一1=丽7an-2-1=丽5a~-5，所以递推公式的通项公式。(作者单位：河北省香河一中)