递推数列通项问题研究

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1、线性递推数列通项问题1•引言递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列在《普通高中数学必修5》中讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列｛色｝的第1项(或前几项)，且任一项色与它的前一项©T(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，所以研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。综观近年全国各地高考试题，以线性递推数列为背景的问题通

2、常作为高档题甚至压轴题的形式出现且正在形成普遍化的趋势。究其原因，一是递推数列问题可以充分考察学生观察、分析、论证的能力，渗透了化归思想和迭代思想；二是以递推数列作为知识结合点可以综合不等式，函数，导数等知识的考察，增强了题目的综合性。然而，万丈高楼平地起，通过归纳总结可以看到递推数列问题的通项求法最终都可以归结到几个基本的数列模型Z上。正如笛卡尔所说：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他难题……如果我在科学上发现了什么新的真理，我总可以说它们是建立在五、六个已成功解决的问题之上的

3、。”②下面就将通过对线性递推数列基木解题思想及基木递推数列模型进行探讨，并以最近几年来的高考试题作为呈现这些基本模型的范例。2.处理线性递推数列通项问题的基本思想2・1•递推思想所谓递推，是指从己知的初始条件出发，根据递推关系逐次推出所要求的各个中间结果和最后结果。作为数学的一种重要思想，递推思想体现了世界上许多事物现象变化所遵循的前因后果的关系，因此具有广泛的应用。递推本质上属于数学归纳法，许多的递推公式实际上是通过对实际问题的分析与归纳得到的。因此，递推是归纳的结果,而递推思想就是利用问题本身所

4、具有一种递推关系去解决问题的一种思想。递推思想解题的一般步骤是：(1)设某一过程为｛/(/?)｝(通常为数列)，求岀初始值/(1),/(2)等，取值的个数由第二步递推的需要确定。(2)找出/⑺)与.fS-l),/5-2)等之间的递推关系。(3)求解递推关系或论证递推关系的性质。在下而基本线性递推数列模型通项的求解中，迭加法与迭乘法就是递推思想的两种具体应用。2.2化归思想波利亚在《怎样解题》中提到当“原问题无法解决时，我们即考虑一我们较为熟悉并与之类似的辅助问题，并考虑希望它能有助于我们解决原有问题

5、。”所以,在数学中，由于新问题与老问题总有某种相似之处，未知的事物总是与已知的事物总是相联系的，因此，我们在处理问题时就有了一种重要的思想方法一一化归思想，即在对新问题仔细观察的基础上，展开丰富的联想，以求唤起对有关【口知识的回忆，并顺利地借助旧知识、旧经验來处理面临的新问题。数学中的化归是有其特定的目的与方向的，这种目的与方向性往往表现为由繁到简，由易道难，由未知到已知，也就是说将一个复杂的待解决的问题经过适当的转化，归结为一个容易解决的或己解决的问题。化归的着眼点在于发现新问题与I口问题之间的类

6、似，在于抓住新、老问题之间的真正的、规律性的联系。化归思想的实质是通过事物Z间的联系和才盾运动,在变换中实现问题的规范性（熟悉或利丁处理），将待解决的问题转化为规范问题，从而使新问题得以解决。简言之，所谓化归思想就是问题的规范化，模式化。在下面线性递推数列基木模型通项求解中构造辅助数列法就是化归思想的典型应用。2.线性递推数列的基本模型与通项求法3・1•基本类型I:色+1=an+/（斤），Cl=Cl分析：该类型在形式上类似于等差数列，不过区别在于其差/⑺）为变数，故通常称其为变差数列。由于形式上的

7、类似，所以类比于等差数列的解决方式，利用迭加法可以消去中间n-2项从而求得①与®的关系，得到通项公式。通项求解：由an+｝=an+f（n）,变型可得afJ+]-an=f（n）令n=1,2,3,,（斤-1），得到一系列等式=f⑴，色—色二/⑵，，cin-an_x=f（n-1）71-1将这刃-i个等式两边分别相加，抵消中间项即可得：込-®=£/伙）k=故通项公式为伙）（/?>2）匚P评注：此类问题最终归结为求£/（灯，可利用列项等变型方法进行技巧求和。k=]例1（出处:2010新课程卷，理20）设数列

8、｛%｝满足=2,an+[-a„=3-22^1,求数列｛色｝的通项公式。解：由递推式,令n=1,2,3,……,0—1）得%-色-=3•22,?_3,a“_]一an_2=3•22/7-5角~a2=3-23,€z2-a}=3-2将这1个等式迭加Z后得an-a{=3・(2+2彳+2‘…….4-22""3)故通项公式为心+3甘才3.1.1.类型变式：a“+i=/（〃）％,a】=a工0,/（兀）工0分析：该类型类似于等比数列，区别亦在其比值为变数/⑺），故也可称其为变比数列。类比