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1、中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com数列一、求递推数列通项公式基础类型类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:已知，，求。解：知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.
2、gzzdjj.com。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）类型4（其中p，q均
3、为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，
4、其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例6:数列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故练习:已知数列中，,,，求。知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com。变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；（I）解：类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去或与消去进行求解。例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法
5、，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例8：已知数列｛｝中，，求数列解：由两边取对数得，知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com令，则，再利用待定系数法解得：。类型8解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式:（2006，江西,理,22）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an
6、＝求数列｛an｝的通项公式；解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）类型9周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例10：若数列满足，若，则的值为___________。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com二、数列的求和：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和；；10．（辽宁卷）已知等差数列的前项和为（Ⅰ）求
7、q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和..(Ⅰ)解法一：当时，,当时,.是等差数列,,············4分解法二：当时,,当时,.当时,..又,所以,得.············4分(Ⅱ)解：,.又,,知识在手，世界我有中山大学家教介绍所http://oyangy.w3.84g.com或http://www.gzzdjj.com············8分又得.,,即是等比数列.所以数列的前项和(2)分组求和：如：求1+1,,,…,,…的前n项和（注：）(3)裂项法：如求Sn常用的裂项有；；（湖北卷）已
8、知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（
