特征方程求递推数列通项公式

《特征方程求递推数列通项公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、特征方程求递推数列通项公式一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索若数列满足求数列的通项它的通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设，令，即，当时可得，知数列是以为公比的等比数列，将代入并整理，得.观察可发现即为方程的根我们称方程为递推公式的特征方程，为特征方程的根。将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？二、二阶线性递推数列通项公式的研究与探索若数列满足设，则,令①（1）若方程组①有两组不同的实数解,则,,即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,,∵由上两式消去可得.（1）若方程组①有两组相等的解，

2、易证此时，则…，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以．这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，结论：设递推公式为其特征方程为，1、若方程有两相异根、，则；2、若方程有两等根，则.其中、可由初始条件确定。例1.（1）已知数列满足，求数列的通项（2）已知数列满足，求数列的通项三、分式线性递推数列通项公式的研究与探索仿照前面方法，等式两边同加参数，则②令，即③记此方程的两根为，（1）若，将分别代入②式可得以上两

3、式相除得，于是得到为等比数列，其公比为，数列的通项可由求得；（2）若，将代入②式可得,考虑到上式结构特点，两边取倒数得④由于时方程③的两根满足，∴于是④式可变形为∴为等差数列，其公差为，数列的通项可由求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列（）的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列（），其特征方程为，即，1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.例2.（1

4、）已知数列满足,求通项.（2）已知数列满足，求数列的通项（3）设数列满足.例3.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.(1)当时,求通项;