探讨递推数列求通项问题.pdf

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1、第24卷第5期四川职业技术学院学报2014年l0月VD1．24No．5JournalofSichuanVocationalandTechnicalCollegeOct．2014探讨递推数列求通项问题纪宏伟(如皋高等师范学校，江苏如皋226500)摘要；利用数列的递推关系式求数列的通项公式是数列单元的常见问题，也是近几年高考、模考的热点问题．本文介绍递推数列求通项问题解题策略，并结合高考题和竞赛题验证其具有重要应用价值．关键词：数列；递推式；通项公式中图分类号：0122文献标识码：A文章编号：1672—2094(201

2、4)05—0154～03引言种情形中，对于①，如果s的表达式已经清楚，那么在高考或自主考试中，数列题是压轴题或较难利用公式=：则不难求出对题的题型之一，当它作为压轴题或较难题时，往往结合考查数学思想或数学思想方法，并将函数、导于③，通常采用倒序相加法、错项相减法、裂项求和数、方程、不等式等高中数学的主干内容融为一体，法、函数法、数学归纳法等方法[1】，亦不难加以解决．呈现出综合性强、知识交叉多、题型变化复杂、思想比较复杂的是②，因为类型繁多，技巧性较强，考生方法以及能力要求较高的特点．纵览近年来的高考不太容易掌握，而

3、且通项式，往往对后续解答乃和自主招生试题发现，数列问题如作为压轴题或较至整个大题的解答具有绝对性影响，起着关键作难题出现，一般都会具有这么两个特点：(1)命题者用，所以有加以高度重视的必要．下面所讨论的问通常都会设计一个循序渐进式的“台阶”，第一问为题即是针对②这种情形．第二问做铺垫，第三问又与前两问有关联，而通常，1基本递推式和相应方法第一问或第二问一般都是求通项或求和之类问题，1．1迭加法类型至于第三问是什么，有可能是参数取值范围，也有迭加法适用的类型是：t(，I)，若A可能是求证不等式，等等，当然，这一问很有难

4、度，(玷)(^为常数且A≠1)，则先两边同时除以A眦，转目的在于对考生加以区分，但其解题的基础还是前化为=+再用迭加法解决．面的台阶I·P(2)从试题题型模式和基本思路上，具有AAA三式(递推式、通项式、前，l项和式)互推形成的“循例1已知数列{满足1，l=(1+)口+环推理链”的特点，可用下图来表示：，求(通项．2”解由已知，得=+，设b，则b，l十l，l，’”，l(b-61)+(6厂6，卜2)+⋯+(b厂b2)+(b2-b1)+61=—：r+图1关系图2由图1，按“由谁推谁，，又可分为三种题型，情形+．．．+-_

5、1T+1-T+bl，故6n==2一()一，从而2n咄·①；由j；形②：由递推关系式；情形③：由(当然，有时并非直接给出)．这三收稿日期：2014-06-25基金项目：江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师培养项目(2014)，江苏省教育科学“十二五，，规划课题“基于概念图的数学教学优化策略研究”阶段性成果(B-b／2O13／O1／O42)．作者简介：纪宏伟(1977-)，男，江苏通州人，如皋高等师范学校数理系讲师，硕士．研究方向：数学教育、泛函分析、信息技术．·154·纪宏伟探讨递推数列求通项问题(争)·例2在数列{}中

6、，az=l，=-a。．，求a

7、1．1解得肛击击，从而=解两边同除以(’1)，得l_+音。3亩。(一2)·1．5不动点法类型击冷b，则bi=-1，bJl+i=b1)2，f(x时，的取值称为不动点．类似于利用迭加法可得b

8、I=1乙232。-4⋯+(一1)(一1)2+bi=6，c，都是常数)型的数列求通项一般用(一1)．一1，从而+(一1)小．不动点法，具体操作是：令一a'x+b，即c(C。x-l-d1．2迭代法类型一b=O，令此方程的两个根为钆勉，若Xl≠勉，则有迭代法也称辗转法，形如ah=(n)的递推!=q·盟，其中g

9、可以用待定系数法求解，l—22‘形式，可用迭代法．然后再利用等比数列通项公式求解；若，则有例3设{是正项数列，al=1，(n+1)一硼0，求{通项．—L=—一+p，其中P可以用待定系数法求解，l1l‘解由已知，(l)[(，l+1)l一，]=0，而>然后再利用等差数列通项公式求解．[3】0，于是=一旦_-，所以·⋯⋯．：n"l-Ia1．1例6数列{)满足}，=嚣，求通项·。解令：，则易求出一，3是，)=署⋯⋯争·}，故=}，lipa．-1．。—1．3待定系数法类型形如口肘l=A(^，／z是常数且A≠1，≠D)类鲁的两个

10、不动点．故口。+1=器+1=型，可令口肿()，其中一1)，=}，从A一工①母等夺-s(a+-S)②．①÷而构造出一个公比为A的等比数列{+)·例4已知2，l=3一2，求．②得等I：号．譬，所以尝是以解因1-1=3一1)，(口^一i)是一个公比为3的等比数列，at-l=l，所以1=(嘞_1)·3，即qI=3+1．季一为首项，一手为公比的等比数列，