由递推关系求通项公式的数列问题

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1、由递推关系求通项公式的数列问题对数列的递推公式，教材上的定义是：“如果已知数列{}的第1项（或前几项），且任一项与它前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式”。从定义可以理解递推公式包括两个部分，一是第1或前几项，二是任意相邻两项、或任意相邻三项、、之间的关系式。形如f(，)=0或f(，，)=0的形式都是递推公式..和由数列的递推公式可以写出这个数列中的任何一项.通过递推关系求出数列的通项公式，是解决数列问题时经常要遇见的。这类问题的处理方法是向特殊数列转化，利用特殊数列（主要是等差数列、等比数列）的性质求数列的通项公式。一、类型例举（

2、一）形如=+f(n)的数列，通常利用迭加法，当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差数列或等比数列，就可用迭加法．迭代法得=a1+f(1)+f(2)+…+f(n－1),(n≥2)然后再求解。例1、在数列{}中，＝0，且=＋2n－1．求通项公式．解：依题意，－＝2n－1，则＝0，a2－a1＝2×1－1，a3－a2＝2×2－1，a4－a3＝2×3－1，…………－＝2×(n－1)－1．将以上各式相加，得＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)．即＝(n－1)2．例2、已知数列{}中，=1，-=2n(n≥2，n∈N).求通项公式.例3、（04年全国理科22题）数列中，=1，且a2

3、k=a2k－1+(－1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1，2，3，…。求数列的通项公式。解：a2k+1=a2k+3k=a2k－1+(－1)k+3k,∴a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k.同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1，…，a3－a1=3+(－1).∴(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+（a3－a1）=（3k+3k－1+…+3）+[(－1)k+(－1)k－1+…+（－1）]，从而a2k+1－a1=.易得到的通项公式：n为奇数时，；n为偶数时，.（二）形如的数列，利用迭乘或迭代法可得，当所给数列每依次相邻两项之间的商组成一

4、个等比数列，就可用迭积法进行消元．.例4、在数列{}中，＝2，＝•，求通项公式．解：由已知，得．∴．将以上各式累乘，得．即＝．例5、数列的前n项的和为，且=1，=n2(n∈N*),求数列的通项公式.解：由=n2an知Sn－1=(n－1)(n≥2)∴－=n2－(n－1)2n≥2时n－=，则(n+1)=(n－1)(n≥2).由a1=1≠0知各项都不等于0，，∴.各式相乘得∴≥2).又n=1时适合上式，∴数列的通项公式≥2）.（三）形如－=p（P为常数且P≠0）的数列可化为的表达式，再求.例6、数列中，=1,当n≥2时其前n项和满足求的通项公式。解：∵当n≥2时，.∵∴∴∴数列是以2

5、为公差，为首项的等差数列，∴，∴.∴当n≥2时，∴（四）形如=，=+r(q、r为常数，,)，求的数列例7、已知数列{}的递推关系为：，且＝1，求通项公式．解：∵，∴．令＝＋1，则＝2．∴数列{}是公比为2的等比数列，∴＝b1即＋1＝(a1＋1)＝．∴＝－1．（五）形如（p,q为常数，且q≠0）的数列，可化为求解。例8、数列中，，求数列的通项公式。解：依题设得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴。（六）形如型的数列，可以通过一是利用迭代法；二是由和，消去.得，再构造辅助数列来解.但这两种方法都要讨论n的奇偶性，这样给解题带来不方便.另外，这类型的数列通项公式也可直接利用构造辅

6、助数列法来求解.例9、已知数列{}中，=1，+=2n(n≥2，n∈N).求通项公式.解：设－ｐ＝－（－ｐ2n－1）.　展开与原式比较得ｐ＝.∴－·＝－（－·2ｎ－1）.　即.这说明数列是以为首项，－1为公比的等比数列，于是－·＝.∴＝.例10、已知数列{}中，=1，+=2ｎ－3(n≥2，n∈N).求通项公式.解：设－（ｎ＋ｐ）＝－[－（ｎ－1＋ｐ）].展开得ｐ＝－1.∴－（ｎ－1）＝－[－（ｎ－2）].数列｛－（ｎ－1）｝是以1为首项，－1为公比的等比数列，于是－（ｎ－1）＝∴＝－1＋ｎ.例11、已知数列{}中，＝1，＝＋2(n∈N*)，求通项公式．解：由已知得＝＋2，＝＋2，

7、an－2＝＋2an－3，……，a2＝2＋2a1＝4．将以上n－1个式子依次代入，得＝＋2(＋2an－2)＝2•＋22(＋2an－3)＝……＝(n－2)＋(2＋2a1)＝(n－2)＋2×＝n•．∴＝n•(n∈N*)．解2：＝＋2是以1为首项，2为公差的等差数列例12、已知数列{ｂn}定义如下：ｂ1=1，+2=8·(n≥2，n∈N).求通项公式.解：设－ｐ·＝－2（ｂn-1－ｐ·）.展开比较得ｐ＝.∴ｂn－·＝－2（－·）.这说明数列｛ｂn－·｝是以ｂ1－·3＝为首项，－2为公比的等比数列，于是