几类递推数列求通项问题

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1、递推数列求通项题型分类归纳解析一、常系数的递推数列（或可转化为常系数的递推数列）类型1（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求..类型2递推公式为（其中p，q均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例6:数列：，,求解（特征根

2、法）：的特征方程是：。,。又由，于是故练习:已知数列中，,,，求。类型3解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。（06山东高考）例8：已知数列｛｝中，，求数列（答案：）类型4分式线性递推数列的通项求法：Ⅰ．由递推公式确定的递推数列解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。变式:（2006，江西,理,22）Ⅱ．由递推式（其中）确定的递推数列用待定系数法若数列满足递推公式（其中）且（常数），则可令，其中是待定系数，且。如果可求出，则可先求等比数列的

3、通项，然后求即可。由递推式中的和用代而得到的二次方程，由此确定、也非常方便。例2：已知数列满足，（1）是否存在常数，使得数列成等差数列，若存在求出，并求（2）设，成立。数列的前项和为，证明证明（1）方法1°：依题意有：依题意有：，解得：。所以存在使得数列是以为首项，为公差的等差数列。。∴，∴方法2°：在递推数列中用代，得，取倒数得所以数列是以为首项，为公差的等差数列。所以所以∴存在使得数列方法3°：可用数学归纳法求猜想当时已知，假设时所以，所以当时也成立所以证明（2）：因为从而，所以所以所以∴Ⅲ。由递推公式确定的递推数列：若数列满

4、足递推公式且（常数）。下面我们用待定系数法求它的通项。假设由递推公式可变为其中为待定系数，则用迭代法式对数代换法先求出数列的通项，再求即可。也是方程的两根，也就是确定待定系数，只需在递推式，把和都换成x，得到方程，求出关于x的方程的两根即可由（1）得：∴解出得：=方法二：也可用对数代换法求通项由两边取对数得例1：已知函数，是方程的两个根（），是的系数，设（1）求的值。（2）.证明：对于任意正整数，都有（3）.，求数列的前项和（2007年广东高考题）（1）解：因为是方程的两根，所以，所以，即（2）证明：方法一，先求通项，再证明，因为

5、，，所以=两边取对数得：令又===所以=，所以由合分比定理得：，所以因为0<<1,所以0<1<1所以>1,故成立。（2）方法20用数学归纳法证明：当时，假设时有，此时有当时所以也成立，所以（3）因为所以的前项和为：类型5：由递推式确定的递推数列。若数列满足递推式且方法一：可用迭代法求出方法二：，则是类型，可以先求出，再求即可，这种方法在递推数列求法中我们称对数代换法。例1解法一：由递推式可变为解法二：例题：解：由已知的递推数列可变为二、几种特殊的递推数列类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满

6、足，，求。类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求。例3:已知，，求。解：。类型3（其中p，q均为常数，）（或,其中p，q,r均为常数）、解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。所以类型4：递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去或与消去进行求解。例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式..（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差

7、的等差数列，所以类型5：周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例10：若数列满足，若，则的值为___________。变式:已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．已知数列，则数列的第100项为（）A．6B。-3C。-12D。-6作业：1．已知数列中，，求2．设数列满足。3．设数列满足求。