几类递推数列通项公式的求法

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1、几类递推数列通项公式的求法1　一阶线性递推数列求通项问题　　一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1）这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).　　　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．（2）这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递

2、推式.［例１］已知数列中，,求的通项公式．［解析］解法一．转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．转化为型递推数列．∵=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数的反函数为求数列的通项公式.[解析]由已知得，则．令=,则.比较系数，得.即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．［评析］此题

3、亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.（5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.［例３］设数列求数列的通项公式．［解析］∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．［例４］设求数列的通项公式．［解析］设用代入，可解出．∴是以公比为-2，首项为的等比数列．∴，即．（6）这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.2　可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　［例５］设数列求数列的通项公

4、式．［解析］由可得设故即用累加法得　或［例６］在数列求数列的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令使数列是以为公比的等比数列(待定)．即∴对照已给递推式，有即的两个实根．从而∴　　①或　　②由式①得；由式②得．消去．［例７］在数列求．［解析］由　①，得　　②．式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．3　特殊的n阶递推数列［例８］已知数列满足，求的通项公式．［解析］∵　　①　　　∴②②－①，得．∴故有将这几个式子累乘，得又［例9］数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．［解析］由①，得②．式①－式②

5、，得，或，故有.∴,.将上面几个式子累乘，得，即．∵也满足上式，∴．