递推数列的通项公式的求法

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1、双流中学2011级高考第一轮复习学案§3.4求数列的通项公式2010-11-10一、考纲解读★考试要求：掌握常见的递推模型，会求常见递推数列的通项公式．★考纲解读：在近年的高考中，对数列递推公式的考查已成为热点，但用递推数列求通项公式有着很强的灵活性，有些学生在解题是摸不着头绪，从而影响了解题速度，也在高考中失去了先机。而解决这一问题的关键在于转化。由递推数列求通项公式，有两个方法：一是先归纳猜想，再用数学归纳法证明；二是构造等差数列或等比数列，运用等差数列或等比数列求解。而等差数列和等比数列是两类最基本的数列。因此

2、，当我们遇到陌生的递推关系式时，通过等价变形，化为熟悉的递推关系式，再化为等差或等比数列，从而达到解决问题的目的。二、回归教材★教材再现在教材中出现的递推数列中，最多的是关于，的递推数列，即。〖教材复习参考题B组第5题〗在数列中，，（），求证：是等比数列。三、基础知识与基本方法归纳1、已知数列的前项和公式或与的关系求通项公式（1）已知数列的前项和公式，利用求通项.基本步骤：①当时，；②当时，，此时的只适用于；③检验是否成立，若成立，则；若不成立，则通项公式要写成分段形式：.（2）已知与的关系，可利用消去或用代换，转化

3、为数列的递推关系.【跟踪训练1】（1）已知等差数列的前项和，为常数，则数列的的通项公式为；《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页（2）数列的前项的和为满足，.（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求的通项公式.（3）已知数列中，，当时，其前项和满足，求的表达式。2、型的递推数列：累加法：.【跟踪训练2】（1）若数列中，，则　　　　　　　　；（2）若数列中，，则　　　　　　；《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页3、型的递推数列：累乘法：.【跟踪训练3】（1）已知数列满足:，（且），求数列的通项

4、公式。（2）正项数列中，，，则；4、一阶线性递推数列：（其中均为常数，）构造法：已知，则为公比为的等比数列；【跟踪训练4】（1）已知数列中，，则　　　　　　　；（2）已知数列中，，则　　　　　　　；《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页5、（其中均为常数，）型的递推数列：方法一：一般地，先在递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，转化为一阶线性递推数列求解。方法二：在递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再用累加法求解【跟踪训练5】已知数列中，，，求6、形如的递推数列：一般利用待定

5、系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公式为的等比数列（前提是首项不为0）【跟踪训练6】已知数列满足，求的通项公式.《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页7、形如（）的递推数列：对形如（）的数列，求解此数列的通项公式一般在递推关系式的两边取对数，得，这样就把问题转化为前面熟悉的问题类型——一阶线性递推数列。【跟踪训练7】已知数列满足（其中），求数列的通项公式.8、形如（，）的递推数列：形如（，）的数列，求解此数列的通项公式一般是通过倒数法，把相应的递推关系式两边倒数，得，这样就化

6、归为熟悉的等差数列问题，再利用相应的等差数列来分析与求解。【跟踪训练8】设等差数列中，，且，求数列的通项公式．9、形如的递推数列：形如（其中，，，，）的递推数列，求解此数列的通项公式一般用待定系数法，把递推关系式变形为，其中满足，化归为等比数列问题，再应用前面类型的方法求解。【跟踪训练8】设等差数列中，，，且，求数列的通项公式．《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页10、形如或的递推数列：这种类型一般可转化为与是等差数列或等比数列来求解【跟踪训练10】（1）在数列中，，，求数列的通项公式．（2）在数列中

7、，，，求数列的通项公式．11、形如（、、、是常数）的递推数列：解特征方程得，，考查或一般地，当特征方程有两个不同的根与时，则数列是等比数列；当特征方程有且仅有一根时，则数列是等差数列。【跟踪训练11】在数列中，，，求数列的通项公式．12、利用归纳猜想法，求通项公式对不便用以上方法求解的问题，可以先根据递推关系求出数列的前几项，总结其规律特征，写出通项公式，然后用数学归纳法证明。【跟踪训练12】〖2010年重庆卷〗在数列中，，，其中实数。求数列的通项公式．《递推数列》学案2010-11-10第10页共10页四、典型例题

8、例1、〖高考领航第46页例1、〗已知数列中，，，且（，）．（1）求证数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明；对任意的，是与的等差中项。例2、已知函数是定义在上的偶函数，是定义在的奇函数。数列满足：，。（1）求数列的通项公式；（2）若，表示的前项和，求的值。]《递推数列》学案2010-11-10第10页共1