递推数列求解(论文)

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1、递推数列的求解策略及技巧湖南省宁远第一中学何雄近年的高考中出现了给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题•对于这类问题学生感到困难较大•本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供参考。1、多式相加法(叠加法)数列有形如an+i=an+f(n)^J解析式，而/(1)+/*(2)+……t/S)的和是可求的，可用多式相加法求得S例1.在数列｛a“｝中,a=—1,an+=an+2n,求cs(〃22).解：由条件,42=41+2X1,03=02+2X2,d”=為_1+2(/?+1),以上川一1

2、个式了和加化简得：an=a-^n(n—l)=n2—n—1.训练：例4已知数列｛给｝中，an=1,J@Lan+]—an=3n-n9求数列｛给｝的通项公式。2、多式相乘法(叠乘恵)数列有形如an=f(nya„-｝的解析关系，而/(1)/(2)••…・/何的积是可求的，可用多式相乘法求得％1-1例2.在数列｛“｝中，ax=-,an=仏_1(。上2),求％n-1……2n+1解：由条件色—_•%卫3—C12^a—=—厶3456这“一1个式子相乘化简得：an=讪+1)训练：例4已知数列a｝中,an=1,XLan+j—an=3n-n,

3、求数列｛a“｝的通项公式。迭代法根据递推的特殊关系，迭代后可以得到通项。例4、在数列｛给｝屮，也二曲，求｛给｝。5n3、待定系数法(转化等差等比)数列有形如%、=kq+b(k、〃为常数)的线性递推关系，可用待定系数法求得如例3.在数列｛a“｝中,a】=l,a”+i=3・a”-1,求a“・解：在an+x=3-an-1的两边同加待定数2,得+2=3--1+2=3-(an+(2—1)/3),令几=32,得2=°曲_*=3・(％-+)・数列他-弓是公比为3的等比数列，cin—=—3"1,a——(3"1+1).22?，2训练：在数列

4、｛a“｝中,a】=2,a“+i=2・a”+1,求a“・4、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得给.例4.已知/(x)=(X-l)4,g(x)=r(x-l)3,(r0,1),数列｛a”｝满足⑷=2,色=1SWN),且有条件(a“-%)•g(a“・i)+/(«„_!)=o,求◎(n>2)o解：由题得：(atJ-an_xyran_x-l)3+(%】-1)4=0.即(an_x-l)3[r(an-an_｝)+(an_x-1)]=01r-对N,anHl,故佔一％])+(%_l)=0.合

5、并同类项得：a“=—+an_[9rr再由待定系数法得：an-1=-~(a“_i-1)-•:cin=1+(-~)，，_l.rr5、求差法数列有形如/(S“,S“_])=g(d”)的关系(非递推关系),可考虑用求差S“-S”_]=an后，再用其它初等方法求得乙・例5・设｛色｝是正数组成的数列，其前〃项和为S”,并且对于所有的自然数/1,色与2的等差中项等于S”与2的等比中项：(1)写出数列｛©｝的前3项；(2)求数列｛©｝的通项公式.岀题者的意图是：通过(1)问求岀数列前3项再猜想出通项公式；(2)再用数学归纳法证明猜想正确.

6、实际上用求差法求通项公式更简单.解：(1)略(2)由条件，得也上2=何7，2即(％+2)2=8•S”，①(休

7、+2)—8・Sr.②①—②得陆=(an+2)2-(％+2)2,即(an-2)2-(％+2)2=0.分解因式得(％+an_x)(an-anA-4)=0.对于几丘N,%>0,:.an-an_x=4.・・・｛%｝是公差为4的等差数列,an=2+4(72-1)=4n-2.6、倒数法数列有形如fatl,an_[,anan_l)=0的关系，可在等式两边同乘以先求丄再anan-｝J求得an例6.设数列｛匕｝满足®=2,沖=-^

8、-(neN),求％.%+3解：原条件变形为〜+】-an+3-an+l=备两边同乘以一-—，得1+3•丄=丄・〜Jan+xV3(—+丄)=—++丄=3心/.an=————.J2%2an22x37练习:例7设数列｛an｝是首项为1的正项数列,且%—j%•色=0,求仏｝构造法有些数列直观上不符合以上各种形式，可对其结构进行适当的变形，以利于使用其他方法例8正整数列｛%｝中，a；]=4%,山=1,求通项公式①7、复合数列构成等差、等比数列法数列有形如于（％2,心斗©）=0的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法

9、求得％・例7.在数列｛逐｝中,ax=2,a2=39an+2=3-an+1-2-an,求a”.解:由条件an+2=3•an+l-2-an9/.an+2-an+l=2（an+1-an）9・：an+2-an+[=2"7•再用多式相加法可得:an=a2+~-—-=2"-1.1—28、循环法数列有形如于（陥2,。