高二数学教学论文 递推数列求解 沪教版

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1、递推数列的求解策略及技巧近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供参考。1、多式相加法（叠加法）数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1=an+2n，求an（n≥2）.解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an=an－1+2(n+1)，以上n－1个式子相加

2、化简得：an=a1+n(n－1)=n2－n－1.训练：例4已知数列{an}中，an=1，且an+1－an=3n-n，求数列{an}的通项公式。2、多式相乘法（叠乘法）数列有形如an=f(n)·an－1的解析关系，而f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.例2．在数列{an}中，≥2），求.解：由条件an－1,这n－1个式子相乘化简得：.训练：例4已知数列{an}中，an=1，且an+1－an=3n-n，求数列{an}的通项公式。迭代法根据递推的特殊关系，迭代后可以得到通项。例4、在数列{a

3、n}中，，求{an}。3、待定系数法（转化等差等比）数列有形如、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.例3．在数列{an}中，求.解：在的两边同加待定数，得+（－1）/3），令得数列{是公比为3的等比数列,∴an=训练：在数列{an}中，求.4、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例4．已知数列满足（n∈4用心爱心专心），且有条件。解：由题得：对n∈，再由待定系数法得：∴5、求差法数列有形如的关系（非递推关系），可考虑用求差后，再用其它初等方法求得例5．

4、设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项：（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式.出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.解：（1）略（2）由条件，得即①②①－②得，即分解因式得对于∈＞0，∴∴是公差为4的等差数列，6、倒数法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求再求得an例6．设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.∵∴练习：例7设数列是首项为1的正项数列，且，求构造法4用心

5、爱心专心有些数列直观上不符合以上各种形式，可对其结构进行适当的变形，以利于使用其他方法例8正整数列中，，求通项公式7、复合数列构成等差、等比数列法数列有形如的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得例7．在数列中，求解：由条件∴∴再用多式相加法可得：8、循环法数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出例8．在数列中，解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333，∴9、开方法对有些数列，可先求再求例9．有两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数

6、、、成等差数列，、、成等比数列，解：由条件有：2bn=an+an+1,①a2n+1=bn·bn+1.②由②式得：③④把③、④代入①得：，变形得）.∵＞0，∴－.∴是等差数列.因∴故针对练习：1、已知a1=1,an+1－an=2n-n,求an4用心爱心专心2、在数列{an}中，a1=1,,求通项an3、在数列{an}中，a1=2,且an+1=4an-2,求通项an4用心爱心专心