确定递推式数列收敛的几种方法-论文.pdf

《确定递推式数列收敛的几种方法-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第17卷第1期高等数学研究VoI．17。No．12014年1月STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICSJan．，2014确定递推式数列收敛的几种方法王琦亮，贾建文(山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾041004)摘要给出确定递推式数列收敛的三种方法，即利用单调有界定理、极限的精确定义以及压缩影像原理，举例说明其应用．关键词递推式数列；收敛；单调；极限中图分类号O171文献标识码A文章编号1008—1399(2014)01—0070—02MethodsfortheConvergenceofRe

2、cursiveSequencesWANGQiliang．JIAJianwen(SchoolofMathematicsandComputerScience，ShanxiNormalUniversity，Linfen041004，PRC)Abstract：Inthispaper，wediscusstheconvergenceofrecursivesequencesbyusingthemonotoneconvergencetheorem，thedefinitionoflimit，andthecontractionmap

3、pingprinciple．Examplesareillustrated．Keywords：recursivesequence，convergence，monotone，limit由递推式给出数列是一种常见而重要的数列形证法1运用作差法易证该数列是单调，又易式，递推数列的求极限问题长期以来备受人们的关见0

4、第二个问题较容易，只要在递推式两可以考察其奇、偶数项子列分别是否单调(单调性必边求极限，然后解出即可．但学生对第一个问题的解然不同)，若是，仍然可以使用“单调有界定理”方决感到比较困难，本文概括总结解决这个问题的方法．请看下面的例子．法，着重阐述如下三种方法．例2[。4设zl一2，z抖1一(≥1)，证1利用单调有界定理明数列{z)收敛，并求其极限．证明显然0

5、该类数列收敛的方法都是利用“单调有界定理”该数列本身不具有单调性．下面用数学归纳法证明来证明，即运用归纳法或“作差”或“作商”等方法，它的偶子列{)与奇子列{z，r}分别具有单调证明数列的单调性，再证明其有界性(或者先证有性．易见2<4，假设z2H0，z科一十_(≥1)，111+z2^一20_r_Znz一—1+X—一2k-1_一T一干’求证{z}收敛，并求其极限．z：1+X2k收稿日期：2013-03—04；修改日期：20

6、13—07—22+z=．基金项目：山西师范大学课程建设项目(SD2009kcz一10)；山西师范大学教学改革研究项目(SD2012zzdkt一19)注意到，当￡>0时，函数，(￡)一是单增的，结作者简介：王琦亮(1965-)，男，山西临汾人。讲师，从事高等数学教学与研究．Email：309129857@qq．COITI合归纳假设，由数学归纳法知，{z。)是单增的．同理贾建文(1963-)，男，山西运城人，硕士，教授，从事微分方可证{X。，r}是单减的．故由单调有界定理知偶子列程及其应用研究．Email：jiajw

7、．2008@163．com{X。)与奇子列{z。，r)都是收敛的，其极限分别记第17卷第1期王琦亮，贾建文：确定递推式数列收敛的几种方法71为a和』9，则对递推关系式取极限(分咒为奇数与偶证明由压缩数列所满足的条件可知数)，可得一而11．Z'm~-I—zI≤r，r_lz2一z1l，，a一，由此容易解出(负值所以对任意的P∈，有·舍一卢一，~lllim一．l抖一zf≤∑l一z计I≤⋯2利用定义^耋罩1。I．3~2-X1I一厂一，用极限的“~-N定义”方法证明数列收敛，必须故由Cauchy收敛准则知{)收敛．要知道数

8、列的极限值．假如数列收敛其极限值可以例4设_l‘，一(一O，1’2’在递推式两边求极限来求得．这样我们可以先求得⋯一个数，从而考虑用“e_N定义”证明这个数就是该)，求证limx；√2．数列的极限，从而证明数列的收敛．即首先由递推关分析该数列本身不具有单调性．可以证明它系式取极限得到一个数a，其次证明这个数n就是数的奇、偶子列分别具有单调性，用单调有界定理证列的极限．此法