确定递推数列通项的基本方法

《确定递推数列通项的基本方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、确定递推数列通项的基本方法　　求递推数列通项是数列中的重点和难点问题。求递推数列通项的方法较多、也比较灵活，基本方法如：迭加法；迭乘法；转化为等差、等比数列求通项法等，其主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。下面就求递推数列通项的基本方法举例说明。　　一、型如an+1=an+f（n）可用迭加法求通项　　例1已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，求通项an。　　解：由递推公式得an-an-1=2（n-1）　　an-1-an-2=2（n-2）　　……　　a3-a2=2?2　　a2

2、-a1=2?1　　以上（n-1）个等式相加得an-a1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2?■=n（n-1）　　又a1=1∴an=1+n（n-1）=n2-n+1　　注：一般地，f（n）可分解成等差数列、等比数列求和（或常用的数列和公式，如12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）等）。　　二、型如an+1=f（n）an（f（n）不是常数）可用迭乘法求通项　　例2已知数列{an}中，a1=■，Sn=n2an，求通项an。　　解：当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2a

3、n-1　　■=■∴■=■■=■■=■■=■……■=■　　■=■以上（n-1）个等式相乘得　　■=■?■?■?■……■?■∴■=■　　∴an=■（n≥2）　　∵a1=■适合上式∴an=■。　　注：一般地，数列an+1=f（n）an，f（n）是分式的形式，且是n的关系式。　　三、型如an+1=pan+f（n）（p为常数且p≠0，p≠1）可用转化为等比数列等　　（1）f（n）=q（q为常数），可转化为an+1+k=p（an+k），得{an+k}是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。　　例3已知数列{an}中

4、，a1=1，an+1=3an+2，求通项an。　　解：设an+1+k=3（an+k），得an+1=3an+2k与an+1=3an+2比较得k=1∴原递推式可变为an+1+1=3（an+1）∴■=3　　∴{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列∴an+1=2?3n-1∴an=2?3n-1-1。　　注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q（p、q为常数且，p≠0，p≠1）可等价地改写成　　a■-■=p（a■-■）则{a■-■}成等比数列，实际上，这里的■是特征方程x=px+q的根。　

5、　（2）f（n）为等比数列，如f（n）=qn（q为常数），两边同除以qn，得q■=p■+1，令bn=■，可转化为bn+1=pbn+q的形式。　　例4已知数列{an}中，a1=■，an+1=■an+（■）n+1，求an的通项公式。　　解：an+1=■an+（■）n+1乘以2n+1得2n+1an+1=■（2nan）+1　　令bn=2nan则bn+1=■bn+1　　（解法同例3）易得bn=-■（■）■+3即2nan=-■（■）■+3　　∴an=-■+■　　（3）f（n）为等差数　　例5已知数列{an}中，a1

6、=1，an+1+an=3+2n，求an的通项公式。　　解：∵an+1+an=3+2n，an+2+an+1=3+2（n+1），两式相减得an+2-an=2因此得，a2n-1=1+2（n-1），a2n=4+2（n-1），∴an=n，n是奇数n+2，n是偶数　　注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。　　四、型如an+1=■（p、q、r、s为常数）可构造为an+1=pan+q类型　　例6已知数列{an}中，a1=4，且an+1=■，求通项an。　　解：∵an+1-1=■-1=■an+1+2

7、=■+2=■　　于是■=■?■从而有{■}成等比数列。　　故有■=■（■）■=■（■）■　　∴a■=■（n∈N）　　注：一般地，设α、β是递推关系的an+1=■（p、q、r、s为常数）的特征方程x=■（p≠0，rq-ps≠0）的两根。（1）若α≠β，可令bn=■，则{bn}成等比数列；（2）α=β，可令bn=■，则{bn}成等差数列。