求递推数列通项公式的若干方法

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1、《数学教学通讯》2005年第4期求递推数列通项公式的若干方法江苏省响水中学高数组魏立国魏立国简介魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分

2、别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。1、不动点法：把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)7《数学教学通讯》2005年第4期的不动点，方程f(x)=x叫特征方程。(1)一般对递推数列①当函数f(x)有两个不

3、同的不动点，令，则问题转化为等比数列.②当函数f(x)有一个不动点，可令问题转化为等差数列.(2)设函数有两个不同不动点x1,x2且确定数列{an}则证明：∵x1,x2是方程两根，∴∴，，∴例1、(04年南京市高模题)已知函数，数列{xn}满足xn+1=f(xn)，(n∈N*)且x1=1，设，求证：an+1

4、易求(2)由得，等根x=0，即令得，，说明：本题是不动点只有一个的情形，不用上面结论，当然也可以直接取倒数转化.例3、数列求通项an.解：方程两根7《数学教学通讯》2005年第4期即2、特征根法递推式的通项，由齐次解和特解组成，其中齐次方程解可由特征方程求，其特解由f(n)形式按一定规律，类似给出。例1、(03年全国高考题)设a0为常数且证明：对任意证明：特征方程解是，则齐次解，设特解为代入原递推式，故通解为即证例2、已知sn是数列{an}前n项和，并且求数列{an}通项公式以及前n项和Sn解：特征方程得，即齐次方程解，即a2=5，得即例3、数列{an}中，,求通项an

5、.解：特征方程，特征根,∴齐次方程解，设特解为代入原递推式，得，7《数学教学通讯》2005年第4期例4、已知数列{an}满足条件：(1)a1=a2=1,a3=2,a4=4,(2)an=an-1+an-3+an-4(n>4)求通项公式an.解：特征方程x4-x3-x-1=0四根通项公式由初值条件得即说明：特征根求通项公式实际包括平时所说①②③形式3、转化法：通过适当变形转化成熟悉的基本数列例1、（2004年北京西城区高模题）已知正项数列{an}和{bn}中，a1=a，（0

6、2）求数列{an}通项公式(1)证明：由数学归纳法易证（2）解：由bn=1-an得，，又即，，即例2、数列{an}中，a1=1，n≥2时，其前n项和Sn，满足，求sn表达式.7《数学教学通讯》2005年第4期解：由an=sn-sn-1得，，即，，例3、设a0为常数，且证明对任意n≥1.证明：两边同除以3n得，令，，即即说明：例1、例2把所求数列转化成倒数，例3其实把an=an-1+qn转化成形式4、取对数法例：在正项数列{an}中，求通项公式解：两边取对数得即说明：运用对数方法，可将含有指数或根式递推式转化为等差，等比数列求解.5、数学归纳法（全国高考题）设数列{an}

7、满足当a1=2时，求a2,a3,并猜想an一个通项公式，并证明当a1=2时，易得a2=3,a3=4，猜想an=n+1证明：当n=1时，显然成立，若n=k时成立，则当n=k+1时，，即当n=k+17《数学教学通讯》2005年第4期时也成立，所以an=n+1成立.7