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1、求递推数列通项公式方法探析数列是中学数学的一项主要内容，求数列的通项特别是递推数列的通项是其中的一个难点，也是近年来高考中常考的内容•现就从中学阶段常见的几类递推式入手，浅谈求递推数列通项公式的方法.一、an+1=pan+q(其中p,q是常数)型一般可用待定系数法，转化为等比数列问题.设递推式可化为an+1+x=p(an+x),即an+1=pan+(p-1)x,得x=qpT.｛an+qp-1｝是以a1+qp-l为首项，q为公比的等比数列./.an+qp-l=(a1+qp-l)qn-1,从而求出an.二、an+1=pan+qn(p,q为常
2、数)型此类型的基本方法是先转化为类型一再由待定系数法求得通项.原式可转化为an+1qn+1=pq?anqn+1,令anqn=bn,①即bn+1=pqbn+1,则由类型一求出bn,再代入①可求得an.三、an+1=an+f(n)型此类型｛an｝可转化为an+1-an=f(n),其中｛f(n)｝是可求和数列，即逐项作差：a2-al=f(l),a3_a2-f⑵，•••an~an-1二f(n-1).将以上式子累加得：an~a1二f(l)+f(2)+・・・+f(nT).设求得f(1)+f(2)+(n-1)=g(n),则有an=al+g(n).这种
3、求数列通项的方法即为迭加法.四、an+1=anf(n)型此类型｛an｝可转化为an+1an=f(n),其中｛f(n)｝是可求积数列，即可逐项作商如下：a2al=f(1),a3a2=f(2),a4a3,…，anan-1=f(n-l),将以上式子两边分别相乘，得anal=f(l)?f(2)?f(3)-f(n-l).设求得f(l)?f(2)?f(3)-f(n-l)=g(n),则有an=alg(n),这种求数列通项的方法即为迭乘法.五、an+1二pan+qan~l(p,q为常数)型此类型可设an+1+xan=y(an+xan~l),即an+1=
4、(y-x)an+yxanT,・・y-x二p,xy二qx2+px-q=0.由一元二次方程可解出X、y的值，构造｛an+1+xan｝等比数列（公比为y）,从而可转化为类型一来求通项.、兀、其他类型[例1】若数列{an}满足a1=12,an=l-lan~l(n^2,nGN).,求a2003解：n二l,a1=12；n=2,a2=-l;n=3,a3=2；n=4,a4=12；•I{an}是以3为周期的数列，则a2003=a667X3+2=a2二T.[例2]已知数列｛an}满足12a1+122a2+・・・+12nan二2n+5(nUN),求{an｝的
5、通项公式.解：12a1+122a2+・・・+12nan二2n+5,①a1+122a2+・・・+12nTan-1二2(nT)+5(n22)・②两式相减得12nan=2(n^2),即an=12n+1(n±2)・/.an=14(n=l)；12n+1(n$2).若数列｛an｝的递推公式是an+1=f(an),则用递推法求通项的一般方法是：an=f(an~l)=f(f(an~2))=f(f(f(an-3)))=…【例3】设an+1=a2n,a1=2,求an.解：Tan+1=a2n,••3.n~3.2n—1~(3.2n~2)2二(an-2)22=(
6、a2n-3)22=(an-3)23二・••二a2n~l1=22nT递推数列通项的求法还有很多，比如归纳法、换元祛、特征根法、矩阵法等，无论是高考还是平时训练中，需要充分利用它们之间的关系，灵活自如地进行转化，将已知数列变为我们熟悉的、简单的等差数列或等比数列.(责任编辑金铃)
