递推数列求通项公式的典型方法

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1、递推数列求通项公式的典型方法1、an+1=an+f（n）型累加法:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+a1例1已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）,求an解:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈N*）例在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故2、型累积法:所以例2:已知

2、数列｛an｝满足,求解:=例2设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）.解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.3．型（p,q为常数）方法：（1），再根据等比数列的相关知识求.(2)再用累加法求.(3),先用累加法求再求例3．已知的首项（a为常数），，求解设，则为公比为2的等比数列。题目:在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.解法一:因为,所以,,所以,,所以,数列是公比为的等比数列.又,所以,,将代入

3、上式可得.[评注]这种方法叫做差分法.即由条件进行递推可得,进一步可得,数列是公比为的等比数列,所以,,再将代入即可求得.解法二:所给数列对应的特征方程为:,所以,特征根为.因为,所以,,即数列是公比为的等比数列,又,所以,.故.[评注]:这种方法叫做特征根法,因为,所以满足(叫做此数列对应的特征方程)的存在,由可得,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件,所以,.解法三:设,即与已知对比可得,所以,.所以,可得,即数列是公比为的等比数列或者各项均为0.(下同解法二

4、).[评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数的值即可得是以为首项,以为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.4．型（p为常数）方法：变形得，则可用累加法求出，由此求得.例4．已知满足，求解为等差数列。5.型（p,q为常数）方法：待定糸数法设构造等比数列例5．数列中，且，求.6、取倒数法例6已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项

5、公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.7、取对数法例若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，，即.8、平方（开方）法例8若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.解将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。9、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯

6、路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.解递推式可变形为（1）设（1）式可化为（2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列{}的通项公式是。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.

7、3、型，可化为的形式。例11在数列{}中，，当，①求通项公式.解：①式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.∴.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12在数列{}中，，=6①求通项公式.解①式可化为：②比较系数可得：=-6，，②式为是一个等比数列，首项，公比为.∴即故.一、复习回顾引入问题：已知数列{an}满足a1=1,且an+1=+1,求an。分析一：归纳法。由递推公式，可求出a2=4，a3=13，a4=40。则

8、a2-a1=3=31，a3-a2=9=32，a4-a3=27=33。由此猜测：an-an-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以an-1-an-2=3n-2，an-2-an-3=3n-3……，a4-a3=33，a3-a2=32，a2-a1=31，把上式子累加，得，an-a1=31+32+33+……+3n-1=，得an=。分析二：构造法。由an+1=+1，得an+1+=3（an+），即数列{an+}为一个公比为3的等比数列，则an+=(1+)·3n-1=。分析三：迭代法。an=3an-1+1=3