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1、数列的几种递推公式一、解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，，求。二、解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求。10例3:已知，，求。解：。变式:已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得三、（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。10例4.已知数列中，，，求.解：
2、设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）10四、类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以10五、递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去或与消去进行求解。例6.数列前n项和.（1）求与的关系
3、；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是，所以.（2）应用类型（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以10六、倒数变换：将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换.例7.已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得:,,是以为首项,公差为2的等差数列.,.跟踪训练已知数列中,,,求数列的通项公式.10二、数列的求和(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和；；1.已知等差数列的前项和为（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1与a5的等差
4、中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和.(Ⅰ)解法一：当时，,当时,.是等差数列,,············4分解法二：当时,,当时,.当时,..又,所以,得.············4分(Ⅱ)解：,.又,,············8分又得.,,即是等比数列.10所以数列的前项和(2)分组求和：如：求1+1,,,…,,…的前n项和（注：）(3)裂项法：如求Sn常用的裂项有；；102.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（
5、Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m
6、≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.(4)错位相减法：其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1注意讨论x，(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n1010
