几种递推数列通项公式地求法.doc

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1、几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法．1　一阶线性递推数列求通项问题　　一阶线性递推数列主要有如下几种形式：（1）这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).　　　　当为常数时

2、，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．（2）这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.［例１］已知数列中，,求的通项公式．［解析］解法一．转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．转化为型递推数列．∵=2xn-1+1(n

3、≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．4几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法［例２］已知函数的反函数为求数列的通项公式.[解析]由已知得，则．令=,则.比较系数，得.即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.（5）；这类

4、数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.［例３］设数列求数列的通项公式．［解析］∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．［例４］设求数列的通项公式．［解析］设用代入，可解出．∴是以公比为-2，首项为的等比数列．∴，即．（6）4几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.2　可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　［例５］设数列求数列的通项公式．［解析］由可得设故即用累加法得　或［例６］在数

5、列求数列的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令使数列是以为公比的等比数列(待定)．即∴对照已给递推式，有即的两个实根．从而∴　　①或　　②由式①得；由式②得．4几种递推数列通项公式的求法几种递推数列通项公式的求法消去．［例７］在数列求．［解析］由　①，得　　②．式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．3　特殊的n阶递推数列［例８］已知数列满足，求的通项公式．［解析］∵　　①　　　∴②②－①，得．∴故有将这几个式子累乘，得又［例9］数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．［解析］由①，

6、得②．式①－式②，得，或，故有.∴,.将上面几个式子累乘，得，即．∵也满足上式，∴．以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法．这些知识是拓展性的，超出了课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握．4几种递推数列通项公式的求法