数列的递推公式

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1、2.1.2数列的递推公式观察数列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，即a1=2，从第2项开始，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式给出：a1=2，an=2an－1，(n=2，3，4，…)再如数列，由操作计算器给出：1coscoscos……a1=1，an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…)如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。数列的递推公式a1=a，an=f(an－1)，(n=2，3，4，

2、…)例1．已知数列{an}的第1项是2，以后各项由公式给出，写出这个数列的前5项.解：a1=2，例2.已知直线l：y=x与曲线c：（如图所示），过曲线c上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线c于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线c于P3，……，设点P1，P2，…，Pn，…的纵坐标分别为a1，a2，…，an，…，试求数列{an}的递推公式。解：由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1=，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都是an，同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，点Pn+1在曲线c：上，由横坐标得它的纵坐标为即这就是数列{

3、an}的递推公式。例3.根据下列各个数列{an}的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；（2）a1=1，,n∈N+；解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；所以，a2=1，a3=4，a4=9，a5=16，归纳出它的通项公式是an=(n－1)2。（2）a1=1，,n∈N+；解:归纳出它的通项公式是例4.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2且n∈N+，都有（1）求a3+a5；（2）是此数列中的项吗？解法1：（1）因为所以，两式相除得n≥2，n∈N+，所以解法2：（1）因为，所以解得a2=

4、4，又解得同理可得解：（2）令则解得n=16.所以是此数列中的一项。（2）是此数列中的项吗？