可测函数列常见的几种收敛

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1、可测函数列常见的几种收敛摘要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数在收敛域内不一致收敛，但对于一个当时在内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的

2、”[1]1可测函数列几种收敛的定义1.1一致收敛[3]设是定义在点集上的实值函数．若对于存在使得对于都有则称在上一致收敛到．记作：(其中u表示一致uniform)．1.2点点收敛若函数列在点集上每一点都收敛，则称它在上点点收敛．例1定义在上的函数列则在上点点收敛到函数而且还能看出在上不一致收敛到，但对于在7上一致收敛到．1.3几乎一致收敛[3]设是可测集，若使得在上有则称在上几乎一致收敛与，并记作(其中a.u．表示几乎一致almostuniform)．例2定义在上的函数在上收敛却不一致收敛．但是只要从的右端点去掉任一小的一段使之成为则在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可

3、以称之为在上几乎一致收敛与0．1.4几乎处处收敛[3]设是定义在点集上的广义实值函数．若存在中点集，有及对于每一个元素，有则称在上几乎处处收敛与，并简记为或若上文的例1也可以称之为在上几乎处处收敛与．1.5依测度收敛例3在上构造函数列如下：对于，存在唯一的自然数和，使得其中令任意给定的对于每一个自然数，有且仅有一个，使得．数列中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列在上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列7虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要足够大，对于点集的测度非常小．事实上．

4、这样对于任给的总可以取到也就是取到使得当时，有其中．这个不等式说明，对于充分大的，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列在区间上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设是可测集上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的有则称在上依测度收敛到函数，记为2可测函数列几种收敛的关系2.1点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道，必有点点收敛于．如例1．反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若是可测集上的可测函数列，则也是可测函数．2.2几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛．反之则不然，如例2．而且还可以得到若是可测集上的可测

5、函数列，则极限函数7也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(EopoB)定理[5]：设是上一列a.e．收敛于一个a.e．有限的函数的可测函数，则对于任意的，存在子集，使在上一致收敛，且．注　定理中“”不可去掉如：例4定义在的函数列则在上处处收敛于1，但对于任何正数及任何可测集，当时时，在上不一致收敛于1．这是因为，当时时，不能全部含于中，必有，于是有．所以在上不一致收敛与1，也即定理中“”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反

6、之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用　由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设是上a.e．有限的可测函数，则对于任意的，存在闭子集，使在上是连续函数，且．也就是说：在上a.e．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5　取，将等分，定义两个函数：7，．然后将四等分、八等分等等．一般的，对于每个，作个函数：．我们把，先按后按的顺序逐个的排成一列：　　　　　　　在这

7、个序列中是第个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的，或是空集(当)，或是(当)，所以(当时时，左端为0)．由于当趋于时，由此可见，也即．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点，无论多么大，总存在，使，因而，然而或7，换言之，对于任何，在中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F．Riesz)[5]设在上测度收敛于，则存在子列在