可测函数的收敛性续

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1、第四节依测度收敛第四章可测函数1.依测度收敛的定义及例子例1：依测度收敛但处处不收敛的函数列例2：几乎处处收敛但不依测度收敛的函数列Riesz定理若,则必有{fn}的子列{fnk}，使得2.Riesz定理及勒贝格定理叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理子列Riesz定理子列3.收敛间的关系⒋依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）注：(1),(2),(4)当mE=+∞时,也成立；条件mE<+∞对(3)来说不可少.定理：令mE<+∞，，则(1)若又有,则f(x)=h(x)a.e.于E。（2）的证明：设{fn}与{gn}是E上几乎处处有限的可测函数

2、列,于E，于E,则于E注:(1),(4)的证明类似，只要利用证明：由于故这与（*）式矛盾，所以证明：假设不成立，则（3）证明条件mE<+∞对(3)来说不可少注：令，则gn不依测度收敛于g注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取{fngn}的子列{fnkgnk}，找{fnkgnk}的子列{fnkignki}使得例设但不依测度收敛于f2于R依测度收敛的等价描述令mE<+∞，则对{fn}的任意子列{fnk},存在{fnk}的子列{fnki}，使得证明：（必要性）任取{fn}的子列{fnk}，由于当然有由Riesz定理知，存在{fnk}的子列{fnki}，使得充

3、分性反之：假设不成立，则显然{fnk}的任何子列{fnki}都不依测度收敛与f，再由Lebesgue定理(mE<+∞)的逆否命题知，显然{fnk}的任何子列{fnki}都不几乎处处收敛与f，这与条件矛盾，故存在{fn}的子列{fnk}，使得例对E=R1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x)a.e.于E从而令，即得我们所要的结果。证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在{gn(x)}的子列{gni(x)}使gni(x)→f(x)a.e.于E，