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《可测函数的收敛性(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节可测函数列的收敛性第三章Lebesgue可测函数f和fn是定义在可测集E上的可测函数和可测函数列⒈函数列的几种收敛定义⑵一致收敛:⑴点点收敛:记作1-δ例：函数列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛⑶几乎处处收敛:记作(almosteverywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛⑷定义2.2:(近一致收敛)几乎一致收敛:记作(almostuniformly)fn不几
2、乎一致收敛于f几乎一致收敛:记作(almostuniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意（）适当小小fn不几乎一致收敛于f的例子即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n⑸定义2.3:依测度收敛:记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛依测度收敛例
3、：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛,即几乎一致收敛.2.几乎处处收敛与几乎一致收敛的联系（叶果洛夫定理）1-δfn(x)=xn即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）定理2.2叶果洛夫(Egoroff)定理即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛引理：设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于为零测度集，故不妨令fn，f在E
4、上处处有限，从而有：关于N单调减小叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞下证明由(3)推出(2)对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞下证明由(4)推出(3)对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明注：叶果洛夫定理的逆定理成立注a:叶果洛夫定理中条件mE<+∞不可少不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）
5、测度集，在留下的集合上任不一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛n例在R+上处处收敛于f(x)=1,但fn不几乎一致收敛于f于R+注b：叶果洛夫定理中的 结论me<δ不能加强到me=01-δ去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,…,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；注b：叶果洛夫定理中结论me<δ不能加强到me=0设fn(x)=xn,x∈(0,1）,则fn(x)处处收敛于f(x)=0，但fn
6、(x)不一致收敛于f(x)，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x)。说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列{xn},使得收敛到1，故：从而E-e上fn(x)不一致收敛于f(x)3.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE<+∞或mE=+∞，几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛另外显然fn(x)在上点点收敛于f(x)所以fn(x)在E上a.e.收敛于f(x)证明：由条件知,存在可测集使且
7、fn(x)在En上一致收敛于f(x)，当然fn(x)在En上点点收敛于f(x)定理2.3:叶果洛夫定理的逆定理叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理收敛间的关系4.几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）定理2.4设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，注（1）:叶果洛夫逆定理中条件mE<+∞不可少处处收敛但不依测度收敛说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1n在R+上处处收敛于f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1.（2）依测度收敛但处处不收敛01f1f6
8、01/4½3/4101/4½3/4101/4½3/4101/4½3/41f7f5f40½1f30½1f201/81/4½1f8依测度收敛但处处不收敛取
