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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§3可测函数的构造已知可测集上的连续函数一定是可测函数,反之,可测函数是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）连续的函数,即下列定理：定理1（Lusin定理）设f(x)是E(不要求mE)上a.e.有限的可测函数,则对0,存在闭子集EE,使f(x)在E上是连续函数,且m(EE),即在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。证明（1）设f(x)是简单函数。n设EEi,各Ei可测且互不相交,f(x)ci,
2、xEi。i10,由Ei可测,知存在闭子集FiEi,且m(EiFi)。nn令EFi,则E为闭集,且EE,i1nnm(EE)m(UEiUFi)i1i1nnnm(U(EiFi))m(EiFi)i1i1i1n(由于EiFi互不相交,所以有限多个闭集之并仍为闭集)。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n对x0EUFi,i,使得0i1x0Fi0,f(x0)ci0。因为Fi互不相交,所以x0UFi,故ii0x0C(UFi)（开集），ii0所以x0的一个邻域U(x0
3、)C(Fi),故有ii0U(x0)(Fi),ii0所以U(x0)EU(x0)Fi0，当xU(x0)IE时,f(x)f(x0)ci0ci00，故f(x)在E上连续。（2）设mE,f(x)为可测函数。由f(x)可测知,存在一列简单函数{n(x)},使得f(x)limn(x)。n*由mE及叶果洛夫定理知,0,一定存在可测子集EE，0*使得n(x)一致收敛于f(x),（在E0上）,且2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯*m(EE0)。2*对每个i(x),由(
4、1)知,闭子集EiE0,使得i(x)在Ei上连续,且*m(E0Ei)i1。2**令EEi,则E闭，且EE(EE0)U(E0E)(画图)i1**m(EE)m((EE0)U(E0E))**m(EE0)m(E0E)*m((EE))U0i2i1*m(E0Ei)2i1。i12i12*由n(x)在En上连续,知n(x)在E上连续。又n(x)在E(E0)上一致收敛于f(x),故f(x)在E上连续。(3)设mE,f(x)为可测函数，则EUEi，i1其中Ei(i1,2,L)互不相交且有界可测。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由f(x)在E上可测,故f(x)在Ei上可测。又mEi,由（2）可知闭子集EiEi,f(x)在Ei上连续，且m(EiEi)i(i1,2,L）。2令EE,则ii1m(EE)m(EE)UiUii1i1m((EE))(因为EE(EE))UiiUiUiUiii1i1i1i1m(EiE),ii1且E为闭集（利用互不相交的闭集的并是闭集）。下证f(x)在E上连续。x0E,i,使得x0Ei,由f(x)在Ei上连续,知U1(x0),当xU1(x0)IEi时,有f(x
6、)f(x0)。又UEl,Ei为互不相交的li闭集，所以x0CUEl,因此又存在邻域U2(x0)CUEl。令liliU(x0)U1(x0)IU2(x0)，4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯则当xU(x0)IEU(x0)IEiU1(x0)IEi时，有f(x)f(x0)注1上述证明方法值得注意。先考虑简单函数，然后再往一般函数过渡，这在许多场合下是行之有效的方法。注2鲁津定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解，它揭露了可测函数与连续函数的关系。在应用
7、上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题。注3有的著者用鲁津定理所反映的重要性质来定义可测函数,事实上这两种定义是等价的,因为鲁津定理的逆命题也是成立的。再给出鲁津定理的另一种形式。1定理2设f(x)是ER上a.e.有限的可测函数,则对0,1存在闭集FE及整个R上的连续函数g(x)（F及g(x)依赖于）,使在F上f(x)g(x),且m(EF),此外还可要求supg(x)supf(x)及infg(x)inff(x)。1R1FRF证明由定理1,存在闭集FE,使f(x)在F上连续且m(EF)。1现在的
8、问题在于把闭集F上的连续函数延拓成整个R上的连续函1数。因为RF为直线上的开集,故1RFU(ai,bi),i1所以令5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f(x),xF,f(b)f(a)iif(ai)(xai),x(ai,bi),ai,bi有限,g(x)biaif(ai),x(ai,bi),bi,f(bi),x(ai,bi),
