可测函数与连续函数的关系

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1、第22卷第2期常熟理工学院学报(自然科学)Vo.l22No.22008年2月Feb.,2008JournalofChangshuInstituteofTechnology(NaturalSciences)可测函数与连续函数的关系戴培良(常熟理工学院数学系,江苏常熟215500)摘要:论述了可测函数与连续函数的关系,对鲁津定理作了较详细的证明及说明.对可测函数的结构进行了详尽的研究,由此对鲁津定理的理解可更加深透.关键词:可测函数连续函数定理中图分类号:O174.1文献标识码:A文章编号:1008-2794(2008)02-0014-04可测函数与连续函数有着密切的关系,这种关系使我们对可测函

2、数的了解更加深入,也是研究可测函数的有效工具.1可测函数和连续函数的定义n定义1设f(x)是定义在可测集Ea]都是可测集,则称[1]f(x)为定义在E上的可测函数.定义2设f(x)是定义在集U(x)HEa]E上的有限函数,如果对PE>0,v5>0,使得PxIG(x0;5),有

3、f(x)-f(x0)

4、a],则由连续性假设,存在x的某邻域U(x),

5、使U(x)HEa].因此,令G=GU(x),则GHE=GU(x)HE=GU(x)HE[f>a].反之,显然有G=E[f>a],因xIE[f>a]xIE[f>a]xIE[f>a]此,E[f>a]a]a]=GHE,但G是开集(因为它是一族开集之并),而E为可测集,故其交GHE仍为可测集,即E[f>a]为可测集,由定义1知:f(x)是可测函数.3可测函数的连续性[3]n定理2(鲁津定理)若f(x)是E0,,存在E中的闭集F,m(EF)

6、:戴培良(1965)),男,江苏常熟人,常熟理工学院数学系教授,博士,研究方向:计算数学.第2期戴培良:可测函数与连续函数的关系15下面对鲁津定理作些附注:附注1.在鲁津定理结论中的D不能取为0.11,xIE1例如:取E=[0,1],而E1是[0,1]的一个测度为的疏朗完备集,作函数f(x)=,则20,xIE-E1f(x)是E上的简单函数,从而f在E上是可测的,然而在E中去掉任一零测集E0,f都不能在F=E-E0上1连续.事实上,由mE1=>0=mE0知,E1-E0XÁ,从而可取x0IE1-E0AE-E0=F,则f(x0)=1;又由21E-E0在[0,1]中稠密知:PD>0,vx1I(E-E

7、1)H(x0-D,x0+D),f(x1)=0,即对E0=>0,vx0IF,21PD>0,vx1I(x0-D,x0+D)使得

8、f(x0)-f(x1)

9、=1>=E0,故f在x0处不连续,也就是说,f不是E-E02上的连续函数.附注2.鲁津定理不能改为:/f为在E上几乎处处有限的可测函数,则PD>0,存在闭集FAE,使m(E-[4]F)0,存在闭集FAE,使211m(E-F)<,即mF>;而且f(x)SPn(x)(xIF),其中Pn(x)是某个n次的多项式,即f(x)-Pn(x)

10、S220,xIF.此式说明,F的每个点(F显然为无限点集)都是f(x)-Pn(x)的零点,即f-Pn有无穷多个零点.另x(n+1)xx一方面,由于[e-Pn(x)]=e无零点,所以f(x)-Pn(x)=e-Pn(x)至多有n+1个零点.这一矛盾说明鲁津定理中的/连续函数0不能改为/多项式0.附注3.鲁津定理的逆命题也成立,即下述命题成立:/设f(x)为可测集E上几乎处处有限的函数,若[5]PE>0,存在闭集FAE,使m(E-F)0,存在闭集FnAE,使m(E-Fn)<,且f在Fn上连续.nn]]]令F0=GFn,E1=E-F

11、0=E-GFn=H(E-Fn).n=1n=1n=1kk+1由于H(E-Fn)=H(E-Fn)(k=1,2,,),单减.于是有mE1=limm(E-Fn)=0,即E1为零测集.而n=1n=1ny]]对PAIR,因f在Fn上连续,所以有Fn[f(x)A]是闭集.所以F0[f(x)A]=GFn[f(x)A]是可测集.n=1又E1[fA]是零测集,所以有E[fA]=F0[f(x)A]GE1[f(x)A]