§3.3 Rn(Euclid空间)上的可测函数和连续函数

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1、§3.3nR上的可测函数与连续函数教学目的本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节将证明重要的Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数逼近.这个结果在有些情况下是很有用的.本节要点一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin定理表明,Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近.Lusin定理有两个等价形式.另外,作为准备定理的Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果.n在§1.4我们已经给出了在R的任意子集上E连续函数的定义.这里先看两个例子.1例1考虑R上的Dirichlet函数1若x为有理数D(x)=0若x为

2、无理数.1显然D(x)在R上处处不连续.若用Q表示有理数的全体,则将D(x)限制在Q上所得到的函数D在Q上恒等于1.故D是Q上的连续函数.(注意D与D是两个不同的函数).QQQ这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数.kn例2设F1,",Fk是R上的k个互不相交的闭集,F=∪Fi.则简单函数i=1kf(x)=∑aiIF(x)是F上的连续函数.ii=1证明设x0∈F,则存在i0使得x0∈Fi0.由于F1,",Fk互不相交,故x∉∪Fi.i≠i0由于∪Fi是闭集,因此i≠i0δ=d(x0,∪Fi)>0.i≠i0对任意ε>0,当x∈F并且d(x,x)<δ时,必

3、有x∈F.于是0i0f(x)−f(x)=0<ε.0因此f(x)在x连续.所以f(x)在F上连续(图3—1).■082Ya3a2a1x0−δx0x0+δXFF23F1图3—1n定理1设E是R中的Lebesgue可测集.f是E上的连续函数连续.则f是E上Lebesgue可测函数.1n证明设a∈R,记E{f

4、a}.(2)x令G=∪U(x,δx),则G是开集.(2)式表明E∩G⊂E{f0,存在E的闭子集E,使得f是E上的连续函数(即f在EδδEδδ上连续),并且m(E−E)<δ.δk证明分两步证明.(1)先设f是简单函数,即f=∑aiIEi,其中E1,",Ek是互不相

5、i=1k交的L可测集,E=∪Ei.由§2.3定理6,对任意给定的δ>0,对每个i=1,",k,存在i=183E的闭子集F,使得iiδm(E−F)<,i=1,",k.iikk令Eδ=∪Fi,则Eδ是E的闭子集,并且i=1kkm(E−Eδ)=m(∪(Ei−Fi))≤∑m(Ei−Fi)<δ.i=1i=1k由于fE=∑aiIFi,由例2知f是Eδ上的连续函数.δi=1(2)一般情形.设f是E上的L可测函数.不妨设f是处处有限的.若令fgg=,(f=).1+f1−g则g是有界可测函数,并且f连续当且仅当g连续.故不妨设f有界.由§3.1推论10,存在简单函数列{f}在E上一致收敛于f

6、.对任给的δ>0,由已证的情形(1),对每个f存在kk∞δE的闭子集Fk,使得fk在Fk上连续,并且m(E−Fk)0,令∞1δδEδ=R−∪(ri−i+1,ri−i+1).i=122则E是闭集,并且δ∞1δδm(R−Eδ)=m∪(ri−i+1,ri−i+1)

7、i=122∞∞δδδ≤∑m(ri−i+1,ri−i+1)=∑i=δ.i=122i=12由于E中不含有理数,因此D(x)在E恒为零.所以D(x)在E上连续.δδδ84下面我们将给出鲁津定理另一种形式.为此,先作一些准备.n1n引理3若A,B⊂R是两个闭集并且A∩B=∅,a,b∈R,a