§1.9闭区间上连续函数的性质

《§1.9闭区间上连续函数的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§1.10闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质,这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值,起着十分重要的作用.下面我们就不加证明地给出这些结论,好在这些结论在几何意义是比较明显的.一、最大值和最小值定理定义:对于定义在区间I上的函数f(x),如果有x0I,使得对一切的xI,都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值.此时称x0为最大(小)值点.又例如,y=sgnx在(-,+)上有:ymax=1,ymin=-1,在(0,+)上有:yma

2、x=ymin=1.定理1(最大值和最小值定理):在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.即:若函数f(x)C[a,b],则1,2[a,b],使得x[a,b]有:f(x)f(1),f(x)f(2)证明略.注意:1.若区间是开区间,结论不一定成立;2.若区间内有间断点,结论不一定成立.例如,y=1+sinx在[0,2]上有:ymax=2,ymin=0.定理2(有界性定理):在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证:设函数f(x)C[a,b],则m和M,使得x[a,b]有:mf(x)M,取K=ma

3、x{

4、m

5、,

6、M

7、},则有

8、f(x)

9、K,所以,函数f(x)在[a,b]上有界.二、介值定理定义:如果有x0使得f(x0)=0,则称x0为函数f(x)的零点.定理3(零点定理):设函数f(x)C[a,b],且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少存在一点(a,b),使f()=0.即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.几何解释:连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧,则曲线弧与x轴至少有一个交点.定理4(介值定理):设函数f(x

10、)C[a,b],且在区间[a,b]的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B那末,对介于A与B之间的任意一个数C,至少有一点(a,b),使得f()=C.abABMmC证:设(x)=f(x)–C,由于f(x)C[a,b],则(x)C[a,b],且(a)·(b)=(f(a)–C)(f(b)–C)=(A–C)(B–C)<0,则由零点定理知:至少存在一点(a,b),使()=0,即f()–C=0,故至少存在一点(a,b),使f()=C.几何解释:例1:证明方程x3–4x2+1=0在开区间(0,1)内至

11、少有一实根.证:令f(x)=x3–4x2+1,则f(x)在闭区间[0,1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理:(0,1),使f()=0,即3–42+1=0,所以,方程x3–4x2+1=0在开区间(0,1)内至少有一实根.推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例2:设函数f(x)C[a,b],且f(a)b,证明:(a,b),使得f()=.证:令F(x)=f(x)–x,则F(x)C[a,b],而F(a)=f(a)–a<0,F(b)=f(b)

12、–b>0,则由零点定理:(a,b),使F()=f()–=0,即f()=.辅助函数的作法(1)将结论中的(或x0或c)改写成x.(2)移项使右边为0,令左边的式子为F(x),则F(x)即为所求辅助函数.区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出,余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续,及比较两端点处函数值的符号,或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间.注①:寻求方程f(x)=0的根寻求函数f(x)的零点;注②:有关闭区间上连续函数命题的证明方法;10直接法:先利用最值定理,再利用介值定理.2

13、0间接法(辅助函数法):先作辅助函数,再利用零点定理.三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;零点定理.注意:1.闭区间;2.连续函数．这两点不能同时满足时,上述定理不一定成立.解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？如果函数f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内连续,且f(a)·f(b)<0,那么f(x)在(a,b)内必有零点.思考题解答不正确.例如,函数在[0,1]上有定义,在(0,1)内连续,且f(0)·f(1)=-2e<

14、0,但f(x)在(0,1)内无零点.