可测函数与连续函数

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1、可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，mE∖E1=0，且使得性质P在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。2、可测函数：设E⊂R是Lebesgue可测集

2、，f是E上的实值函数。假如对于任意实数CEf>C=x∈E:fx>C都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。3、几乎处处有限的可测函数：设E⊂R是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，mE∖E1=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CEf>C=x∈E:fx>C都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设D⊂R，f是定义于D的函数，x∈D，假如limy→x,y∈Dfy=fx则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。5、预备定理、引理定理2.2设

3、f是一个紧集，{fn}n≥1是一列沿F连续的函数。若fn在F上一致收敛于f，则f也沿F连续。定理2.3（Egoroff）设f和fn(n≥1)都是测度有限的集D上的几乎处处有限的可测函数。若fn在D上几乎处处收敛于f，则对任何ε>0，有D的闭子集F，使mD-F<ε，并且fn在F上一致收敛于f。引理2.1设F是R中的闭集，函数f沿F连续，则f可以开拓成R上的连续函数f*，并且supx∈R

4、f*x

5、=supx∈R

6、fx

7、。引理2.2设f是可测集D上的简单函数。则对任何ε>0，有沿D连续的函数f*使m{f≠f*}<ε。二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1

8、　可测集上的连续函数都是可测函数。证明:对任意a∈R，设x∈Ef>a，则由连续性假设，存在x的某邻域Ux，使Ux∩E⊂Ef>a。因此，令G=x∈E(f>a)U(x)，则：G∩E=x∈E(f>a)U(x)∩E=x∈E(f>a)U(x)∩(f>a)反之，显然有Ef>a⊂G，因此：Ef>a⊂G∩Ef>a⊂G∩E从而：Ef>a=G∩Ef>a但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交G∩E仍为可测集，即Ef>a为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在0,1上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函

9、数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数f*，并且：supx∈Rf*(x)=supx∈Rf(x)证明：此时Fc=(an,bn)是开集，其中开区间族(an,bn)两两不相交。今定义f*x=fx,若x∈F线性,若x∈an,bn,且an,bn有界fan,若x∈an,bn,其中bn=∞fbn,若x∈an,bn,其中an=-∞则显然f*x是R上的连续函数，它是f的开拓。引理得证。引理2：设f是可测集D上的简单函数。则对任何ε>0，有没D的连续的函数f*使mEf≠f*<ε证明：不妨设fD={ak}1≤k≤n,其中ak都是实数且两两不同

10、。令Ek=Ef=ak,则{Ek}1≤k≤n两两不相交且D=k=1nEk.现对每一k，令Fk是Ek的闭子集且mEk-Fk<εn,k=1,2,…,n.此时易知f沿闭集F=k=1nEk连续。由引理1，f作为F上的函数可以开拓成沿D连续的函数f*，此时mEf≠f*≤mD-F=mk=1nEk-k=1nFk≤mk=1nEk-Fk≤k=1nmEk-Fk<ε引理证毕。定理1（Lusin）设f为可测集D上几乎处处有限的可测函数，则对任意的ε>0，有沿D连续的函数f*使mf≠f*<ε，并且maxx∈Df*x≤supx∈Dfx。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般

11、性设f在D上处处有限。先设D是有限可测集。由定理2.3，有D上的简单函数列{fn},使fn(x)→f(x)(x∈D)。现对每一n≥1,由引理2.2，存在沿D连续的函数fn*，使m{f≠f*}<ε2n+1，n=1,2,…令E=n=1∞{fn≠fn*},则m(E)<ε2并且在D-E上fn*(x)→f(x)。由于D有界,所以存在D-E的有界闭子集F,使得fn*在F上一致收敛于f并且mD-E-F<ε2。再由定理2.2，f沿F连续.这样由引理2.1，f作为F上的函数可以开拓成沿D连续的函数f*。此时m{f≠f*}≤m(D-F)<ε。这样我们在D有界的条件下证明了定理。对

12、一般的D⊂R，此时对每一整数n，令Dn