《测度与可测函数》PPT课件

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1、第一章实变函数初步第一节直线上点集的勒贝格测度与可测函数勒贝格测度与勒贝格可测集可测函数测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广可测函数列的极限问题一、点集的勒贝格测度与可测集1.几个特殊点集的测度设E为直线R上的有限区间[a,b](或(a,b)或[a,b)或(a,b]),则其测度定义为：m(E)=m([a,b])=b-a.(2)设E为平面上有界闭区域D,则其测度定义为:m(E)=SD(4)若E=，则定义m(E)=m()=0(3)设E为空间上有界闭区域,则其测度定义为:m(E)=V(6)若E为一随机事件，则定义m(E)=P(E)(古典概率）(5)若E={x}是单

2、点集，则定义m(E)=02.直线上非空有界开集与有界闭集的测度定义1设ER非空点集，aR.(1)设>0,称开区间(a,a+)=O(a,)为a的邻域。直线上包含a的任一开区间(,)均可称为点a的邻域(2)设aE,若存在a的一个邻域(,),使得(,)E，则称a是E的内点；定义2设ER非空点集.如果E中的所有点都是内点，则称E是开集；定义3设G是直线R上的一个有界开集。如果开区间(,)满足条件:1)(,)G2)G,G则称(,)为开集G的一个构成区间定义4设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G),(ai,bi)(i

3、I)为G的构成区间，则定义m(G)=(bi–ai)(0

4、一个实数，满足：1）xA，有x；2）>0,x0>−则称为A的上确界,记作：（2）如果存在一个实数，满足：1）xA，有x；（2）>0,x0<+,则称为A的下确界,记作：注:如果a为数集A的上（下）确界，则存在数列{xn}A,使得定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度定义7设ER为任一有界集.称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度，记为m*(E),即m*(E)=inf{m(G)

5、G为有界

6、开集,EG}(2)称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度，记为m(E),即m(E)=sup{m(F)

7、F为有界闭集,FE}(3)如果m(E)=m(E),则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度，记为m(E),即这时,也称E是勒贝格可测集(简称L可测集)m(E)=m*(E)=m(E)注:1)对于有界开集G,有m(G)=m*(G)2)对于有界闭集F,有m(F)=m(F)3)对于任一非空有界集E,有m(E)m*(E)(根据定义)定理3设X=(a,b)是基本集(有界),E,EiX(i=1,2,…)均为有界可测集,则有EC=X-E、E1E2、E

8、1E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且1)m(E)0,且E=时,m(E)=0(非负性)3)m(E1E2)m(E1)+m(E2)(次可加性)若E1E2,则m(E1)m(E2)(单调性)m(E2–E1)=m(E2)-m(E1)4.可测集的性质4)若E1E2=,则m(E1E2)=m(E1)+m(E2)(有限可加性)5)若EiEj=(ij,i,j=1,2,…),则m(Ei)=m(Ei)(可列可加性)1)若E1E2…Ek…,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek)定理4设X=(a,b)是基本集,{Ek}是X上的可测集列。2)若E1E

9、2…Ek…,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek)定理5设ER有界,则E可测存在开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)<证:“”E可测m(E)=m*(E)=m(E)“”>0,开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)<>0,开集GE和闭集FE,使m(F)m(E)m(E)m(G)m(E)-m(E)