专题四 测度与可测函数.ppt

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1、专题四直线上点集的勒贝格测度与可测函数勒贝格测度与勒贝格可测集可测函数测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广可测函数列的极限问题一、点集的勒贝格测度与可测集1.几个特殊点集的测度设E为直线R上的有限区间[a,b](或(a,b)或[a,b)或(a,b]）则其测度定义为：m(E)=m([a,b])=b-a.(2)设E为平面上有界闭区域D,则其测度定义为:m(E)=SD(4)若E=，则定义m(E)=m()=0(3)设E为空间上有界闭区域,则其测度定义为:m(E)=V(6)若E为一随机事件，则定

2、义m(E)=P(E)(古典概率）(5)若E={x}是单点集，则定义m(E)=02.直线上非空有界开集与有界闭集的测度定义1设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G),(ai,bi)(iI)为G的构成区间，则定义m(G)=(bi–ai)(0

3、(有界集的外测度)称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度，记为m*(E),即m*(E)=inf{m(G)

4、G为有界开集,EG}(2)(有界集的内测度)称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度，记为m(E),即m(E)=sup{m(F)

5、F为有界闭集,FE}(3)(有界集的测度)如果m(E)=m(E),则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度，记为m(E),即这时,也称E是勒贝格可测集(简称L可测集)m(E)=m*(E)=m(E)注:1)对于有界开集G,有m(G)

6、=m*(G)2)对于有界闭集F,有m(F)=m(F)3)对于任一非空有界集E,有m(E)m*(E)(根据定义)定理1设X=(a,b)是基本集(有界),E,EiX(i=1,2,…)均为有界可测集,则有EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且1)m(E)0,且E=时,m(E)=0(非负性)3)m(E1E2)m(E1)+m(E2)(次可加性)若E1E2,则m(E1)m(E2)(单调性)m(E2–E1)=m(E2)-m(E1)4.可测集的性质4)若E1

7、E2=,则m(E1E2)=m(E1)+m(E2)(有限可加性)5)若EiEj=(ij,i,j=1,2,…),则m(Ei)=m(Ei)(可列可加性)1)若E1E2…Ek…,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek)定理2设X=(a,b)是基本集,{Ek}是X上的可测集列。2)若E1E2…Ek…,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek)定理3设ER有界,则E可测存在开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)<证:“”E可测m(E)=m*(E)=m(E)“

8、”>0,开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)<>0,开集GE和闭集FE,使m(F)m(E)m(E)m(G)m(E)-m(E)

9、[0,1]中的有理点集是可列集，因而是L可测集，且其测度为零.例4零测集的任何子集都是零测集.证:E是零测集m(E)=m*(E)=m(E)=0>0,开集GE,使E0EGm(E0)m(G)<m*(E0)=0(由的任意性）又由于m(E0)m(E0),所以m(E0)=m(E0)=0例3康托三分集是不可列集,但其测度为零.证:已知G0是开集m(K)=1-m(G0)=0(外测度定义)K=[0,1]-G0是有界闭集,5.几个值得注意的问题1）关于无界集的测度问题定义4设E

10、R为任一无界点集，如果对x>0,有界集(-x,x)E可测,则称E是可测的.并记注:1)无界点集的测度可能是有限值,也可能是无穷大.例如,有理数集Q是无界的零测集,E=(0,+)是测度为+的可测集.2)对于无界集,上述定理1的结论也成立.2）L可测集类与波赖尔(Borel)集定义5(1)R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类.(2)对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称为波赖尔(Borel)集.所有波赖尔(Borel)集都是L可测集.