函数连续与连续函数的运算

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1、二、函数的间断点一、函数连续性的定义第七节机动目录上页下页返回结束函数的连续性与连续函数的运算第一章三、连续函数的运算分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁连续函数是微积分研究的主要对象。连续现象、连续性是自然界、人类社会大量呈现的基本现象。有关连续的相关概念自变量的改变量（增量）函数的改变量（增量）说明:1）函数在点一、函数连续性（Continuous）的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束1.函数在一点的连续性

2、2）对自变量的增量有函数的增量当时,有则函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束左连续2.左连续与右连续右连续在点连续在点既左连续又右连续.3.在区间上的连续性f(x)在(a,b)内连续f在开区间(a,b)内的每一点都连续.在[a,b]上连续f在开区间(a,b)内连续,且在a点处右连续，在b点处左连续.或f在(a,b)内连续,若f在[a,b]上连续,则记作continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.例如,在上连续.(多项式函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.注意

3、：只有在定义域上连续的函数才是连续函数只要都有机动目录上页下页返回结束4.连续函数例1.证明函数在内连续.证:即这表明：在内连续.同理可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束例2.设讨论在处的连续性.解:处连续,需有即故例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.解:机动目录上页下页返回结束例4.设f(x)定义在区间上,若f(x)在连续,证:由且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.机动目录上页下页返回结束再由f(x)在x=0连续，有故机动目录上页下页返回结束在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连

4、续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;机动目录上页下页返回结束如没定义.但在间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束各类间断点图示为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例5.机动目录上页下页返回结束判断下列函数在指定间断点的类型显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页

5、返回结束例6.求函数的间断点并判断其类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束例7.求的间断点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点机动目录上页下页返回结束有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例8.设函数试确定常数a及b.机动目录上页下页返回结束定理2.连续的单调递增函数的反函数在其定义域内连续三、函数连续性的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运

6、算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.即若函数则即复合函数又如,且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束说明:1）复合函数连续性定理可以写成下面两种形式(1)式表示,在定理的条件下,函数符号和极限号可交换.(2)式表示,在定理的条件下,可通过代换化复合函数为简单函

7、数.2）由于连续是由极限定义的,因此计算涉及连续函数的极限时,实际是如下计算的：1.2.3）关于连续函数运算法则,有如下结果:(1)函数f(x)在x0处连续,g(x)在x0处间断,则F(x)=f(x)+g(x)在x0处必间断.(2)函数f(x)与g(x)在x0处都间断,则F(x)=f(x)·g(x)在x0处可能连续也可能间断.(3)函数f(x)在x0处连续,g(x)在x0处间断,则F(x)=f(x)·g(x)在x0处可能连续也可能间断.(4)函数u=φ(x)在x0处间断,u0=φ(x0),y=f(u)在u0处连续,则y=f[φ(

8、x)]在x0处可能连续也可能间断.二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,则连续区间为(端点为单侧连续)，的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束内容小结