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1、§1.6函数的连续性与连续函数的运算一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续函数的性质与四则运算一、函数的连续性函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有两种描述：(1)当自变量有微小变化时，对应的函数值的变化也很微小；(2)连续函数的图形是一条不间断的曲线.xy§1.6函数的连续性与连续函数的运算1.函数的增量设函数在点的某邻域内有定义，当自变量x在该邻域内从变化到x时，对应的函数值从变到称为自变量的增量，记作称为函数的增量，记作§1.6函数的连续性与连续函数的运算2.连续的定义设函数在点的某邻域内有定义，定义1若
2、则称函数在点连续，称是的连续点.定义2设函数在点的某邻域内有定义，若则称函数在点连续.等价§1.6函数的连续性与连续函数的运算1.函数在一点连续必须满足三个条件：(3)(2)存在;f(x)在内有定义;(1)2.函数在一点连续提供了求极限的简便方法§1.6函数的连续性与连续函数的运算小结——只需求出该点函数值即可3.左、右连续设函数在点的左邻域内有定义，若则称函数在点左连续.设函数在点的右邻域内有定义，若则称函数在点右连续.§1.6函数的连续性与连续函数的运算右连续左连续定理1此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.§1.6函数的连
3、续性与连续函数的运算例1解右不连续.所以左连续,§1.6函数的连续性与连续函数的运算4.连续函数与连续区间如果函数在开区间内任一点连续，则称函数在开区间内连续，并称是函数的连续区间.如果函数在开区间内连续，且在点处右连续，在点处左连续，则称函数在闭区间上连续.§1.6函数的连续性与连续函数的运算例如,有理整式函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此有理整式函数在都是连续的.§1.6函数的连续性与连续函数的运算例2证都是连续的.类似可证,连续.由夹逼准则§1.6函数的连续性与连续函数的运算二
4、、函数的间断点定义3出现如下三种情形之一:无定义;不存在;间断点.的为)(0xfx称函数在处不连续，§1.6函数的连续性与连续函数的运算间断点的类型:第二类间断点:第一类间断点:左极限及右极限均存在,左极限及右极限中至少一个不存在.称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.若左、右极限相等，左、右极限不相等，的为)(0xfx间断点§1.6函数的连续性与连续函数的运算例如由于函数无定义,故为f(x)的间断点,且第二类且是无穷间断点.可能是连续点,分段函数的分段点可能是间断点,也需
5、要判定.注§1.6函数的连续性与连续函数的运算例3讨论函数10解但所以为函数的间断点，且为第一类可去间断点.此时改变函数在点处的定义，令则函数在点连续.在点处的连续性.§1.6函数的连续性与连续函数的运算1-1xyo例4讨论函数的连续性.解在点处无定义.函数所以为函数的间断点，且为第一类跳跃间断点.§1.6函数的连续性与连续函数的运算例5解函数值在-1、1之间振荡，为振荡间断点.§1.6函数的连续性与连续函数的运算三、连续函数的性质与四则运算.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxg
6、xgxfxgxfxgxfxxgxf¹±定理21.四则运算的连续性例如,有限个连续函数经过有限次四则运算所得的函数在其定义域内都是连续的．§1.6函数的连续性与连续函数的运算2.反函数的连续性单调的连续函数必有单调的连续反函数.定理3例如,.cot,arctan上单调且连续在==xarcyxy),(+¥-¥反三角函数在其定义域内皆连续.§1.6函数的连续性与连续函数的运算定理4设函数由函数与函数复合而成,3.复合函数的连续性若函数在连续,，且函数在连续，则复合函数在处连续.求复合函数极限时极限运算可以与函数运算交换次序！由此可见§1.6
7、函数的连续性与连续函数的运算当时,有对上述由此当时,从而证当时,有又即§1.6函数的连续性与连续函数的运算例6解例7解注意求极限过程中变量替换的技巧！§1.6函数的连续性与连续函数的运算内容小结1.函数的连续性2.函数的间断点在一点连续的定义，必须满足的三个条件.无穷型,振荡型间断点分类第一类间断点:跳跃型可去型，第二类间断点:§1.6函数的连续性与连续函数的运算可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点内容小结§1.6函数的连续性与连续函数的运算内容小结3.函数的连续性与连续函数的运算连续函数的和差积商的连续性；复合函数的连续
8、性.反函数的连续性；§1.6函数的连续性与连续函数的运算思考练习§1.6函数的连续性与连续函数的运算的连续性.讨论函数nnnnnxxxxxf--++¥®+-=2lim)(解答提示第一类可去间断点第一类跳跃间断点)(,),
