函数的连续性与连续函数的运算(II)

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1、第八节函数的连续性与连续函数的运算一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续函数的运算一、函数的连续性1.函数的增量2.连续(continuous)的定义定义1设函数在内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，即或,那末就称函数在点连续，称为的连续点.定义2设函数在内有定义,如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即那末就称函数在点连续.定义3设函数在内有定义,称函数在点连续.例1证由定义2可推得：例3.单侧连续定理例例2解例2解右连续但不左连续,4.连续函数(continuousfunction)与连续区间在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区

2、间上连续，或者叫做在该区间上的连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在其定义区间内是连续的.重要结论基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.例3证例4解例5解二、函数的间断点(1)跳跃间断点例1解1.第一类间断点(2)可去间断点例2例3例2解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例2中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例3中,2.第二类间断点(1)无穷间断点例如例4解(2)振荡间断点例5解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.间断点的分类：第一类间断点第二类间断点间断点可去间断

3、点：跳跃间断点：无穷间断点振荡间断点三、连续函数的运算1、四则运算的连续性定理1例如,三角函数在其定义域内皆连续.例2、反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,同理：反三角函数在其定义域内皆连续.3、复合函数的连续性定理3例如,意义1.极限符号可以与函数符号互换;注意定理3是定理4的特殊情况.定理4例1解例2解同理可得4、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★(均在其定义域内连续)4、初等函数的连续性定理5基本初等函数在定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间

4、.例1解例2解1.初等函数求极限的方法——代入法.注意2.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在点x=0的邻域内没有定义.求f(x)的连续区间,就是求f(x)的定义区间.3.分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性.解四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点⒋连续函数的和差积商的连续性.⒍复合函数的连续性.⒎初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.⒌反函数的连

5、续性.思考题思考题1解答且但反之不成立.例但思考题2解答是它的可去间断点练习题一练习题一答案练习题二练习题二答案定理3证将上两步合起来:狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx