函数的连续性与连续函数的运算(III)

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1、第六讲函数的连续性与连续函数的运算内容提要1.函数的连续性；2.函数的间断点；3.连续函数的和、差、积、商的连续性；4.反函数、复合函数与初等函数的连续性；5.闭区间上连续函数的性质.1.理解函数在一点连续的概念，了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念；2.会判断函数间断点及其类型；3.了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性，知道连续函数的保号性，了解初等函数的连续性；4.掌握用连续性计算初等函数的极限；5.了解闭区间上连续函数的性质——最大、最小值定理,熟练掌握介值定理.教学要求改变量,(可正可负)的改变量,（可正可

2、负)当自变一、函数的连续性1.自变量的改变量和函数的改变量（1）自变量的改变量（2）函数的改变量注:yxDD,分别为整体记号,不能理解为及曲线上相应点的纵坐标的改变量。21.0=11.122-=)1()1.1(-=ff)1()1.01(-+=ff解)()(00-D+=Dxfxxfy定义1如果0=[])()(lim000-D+®Dxfxxfxlim0=D®Dyx则称函数)(xfy=在0x点连续.在上述定义中,)()(lim00xfxfxx=®从而定义2)()(lim00xfxfxx=®如果则称函数)(xfy=在0x点连续.．2.函数在点0x处的连续性指出:定义1与定义2是

3、等价的.例2证明函数1)(3+=xxf在2=x处连续证明9=)1(lim32+=®xx)(lim2®xfx所以函数1)(3+=xxf在2=x处连续。【注】若)()(lim00xfxfxx=-®,则称函数)(xfy=在0x点左连续。若)()(lim00xfxfxx=+®,则称函数)(xfy=在0x点右连续。函数)(xfy=在0x点连续的充分必要条件是:函数)(xfy=在0x点既左连续且右连续。因为结论:练习证由定义1知右连续但不左连续,3.函数在区间上的连续性在左端点ax=处右连续则称函数连续点的全体所构成的区间,称为函数的连续区间。bx=处左连续,且在右端点)(xf在闭

4、区间上连续,(１)若函数)(xf在开区间内每一点都连续。(２)若函数)(xf在开区间内连续,则称在开区间内连续。在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。证明4.初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的,因此,由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则1(连续函数的四则运算),设函数)(xf和)(xg均在0x点连续,则)()(xgxf、)0)((0¹xg都在0x点连续。即法则2(反函数的连续性)单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则，可以证明设函数)(uf在点0u处连续

5、,函数)(xuj=在点0x处连续,且)(00xuj=,则法则3说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可得如下结论：例如0=0)sinlimarctan(=®xx)arctan(sinlim0®xx复合函数在点0x处连续。(复合函数的连续性)法则3法则xx1)1ln(+=®0xlim解又由于函数uln在eu=处是连续的,故1=ln=e)1ln(+®xx0xlim令xu)1(+=x1e=0x®x+)1(limx1)1ln(+=®x0xlimx1指出:解解练习定理由于基本初等函数在其定义域内是连续的，初等函数在其定义区间内是连续的。若)(xf为初等函数,且0x在其定义区间内,

6、则这表明:对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值.由以上法则，可得：例5求2211limxx-®23=1lim221-®xx解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。练习求下列函数的连续区间，并求极限：解1解2二、函数的间断点如果函数)(xf在点0x处不连续,就称)(xf在点0x处间断,0xx=点称为函数)(xf的间断点或不连续点。由函数连续性定义可知,间断点分类：间断点可分为以下几种类型,按左、右极限是否都存在来分类。（一）第一类间断点(左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-®®均存在与,)(lim)(limxfxfxxxx®存在,)(

7、lim0xfxx（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)例211)(2--=xxxf函数2=所以1=x为函数)(xf的可去间断点。令2)1(=f则函数)(xf在1=x点处就连续了。例3函数ïîïíì>-=<+=010001)(xxxxxxf1=0)1(lim+=-®xx由于左极限)(lim0-®xfx1-=)1(lim0-=+®xx)(lim0+®xfx所以0=x点为函数)(xf的跳跃间断点。右极限对于可去间断点，我们可以补充或改变(当)(0xf有定义时)函数在0x点处的定义,(当)(0xf无定义时）使0x点处连续。函数在指出：例