连续函数的运算与初等函数的连续性(VI)

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1、第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性一、连续函数的四则运算定理1例如结论三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数与复合函数的连续性1.反函数的连续性连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.定理2(或递减)(或递减)即(递减)(递减)证明例如反三角函数在其定义域内皆连续.同理结论11定理32.复合函数的连续性定理的意义：(2)连续函数极限符号可以与函数符号互换.证明f连续f连续例1解:特别地连续例2解:同理可得例3解:定理4即连续函数的复合函数是连续的.证明由定理3，可得f连续g连续例如o三、初

2、等函数的连续性(1)三角函数在它们的定义域内是连续的.已有结果：(2)反三角函数在它们的定义域内是连续的.(均在其定义域内连续)基本初等函数在定义区间内连续.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如(端点为单侧连续)说明(1)初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续，例如,(孤立点)在0点的邻域内没有定义.因此它无连续点.注意定义区间与定义域的区别;(2)初等函数求极限的方法代入法.例4解:例5解:---求极限的又一种方法.分子有理化例6解:等价无穷小代换说明说明如例6大于0常数常数极

3、限不是常数注意使用条件练习解:解:小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.作业：P69-70习题1-91.3.(4)(5)(7)4.(1)(3)(4)(5)(6)6.反例反之是否成立?提示:“反之”不成立.思考与练习狄利克雷函数证明返回2.复合函数的连续性定理3证明返回