连续函数的运算与初等函数的连续性(VIII)

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1、第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性三、小结与思考判断题第一章8/30/20211定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调8/30/20212定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:设函数于是故复

2、合函数又如,且即8/30/20213例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,8/30/20214例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.8/30/20215二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而连续函数的反函数连续8/30/20216初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,在0点的邻域内没有定义.注1.注2.初等函数求极限的方法：代入

3、法.例2.解8/30/20217例3.求解:原式例4.求解:令则原式说明:当时,有8/30/20218例5.求解:原式说明:若则有8/30/20219例6.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,8/30/202110三、内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.8/30/202111思考与练习续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P683(5)

4、,(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.8/30/202112