连续函数的运算；闭区间上连续函数的性质

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1、第六讲Ⅰ授课题目：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10闭区间上连续函数的性质Ⅱ教学目的与要求：1明确初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性求函数的极限。2掌握闭区间上连续函数的性质Ⅲ教学重点与难点：重点：会利用初等函数求函数的极限及介质定理难点：介值定理的应用Ⅳ讲授内容：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1若和在点连续，则它们的和（差），积f及商（当二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调增加（

2、或单调减少）且连续。如与定理3设函数由函数与函数复合而成，若，而函数在连续，则例3求解可看作由与复合而成，因为，而函数在点连续，所以==定理4设函数由函数与函数复合而成，若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续。三、初等函数的连续性：结论1基本初等函数在它们的定义域内都是连续的结论2一切初等函数在其定义域内都是连续的例2求解例3求解§1.10闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大最小值定理（最值定理）定理1：在闭区间上连续的函数在该区间上有解且一定能取得它的最大值和最小值二、零点定理与介值定理定理2（零点定理）：设函数在

3、闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点使定理3（介值定理）：设函数在闭区间上连续，且这区间的端点取不同的函数值注：以上两个定理有两个共同性质，第一，所论区间为闭区间；第二，所论函数在此闭区间上连续，二者缺一不可。例：验证方程及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得注：闭区间上的连续函数满足最大（小）值定理、介值定理、零点定理，这些性质常可用于证明某些等式和不等式；判定某些方程的根的存在性和根的范围等。例4证明：在区间内分别恰有一个根。例5证明：至少有一个正根。例6证明方程至少有一个根介于之间。例

4、7证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然在上连续，且，若，则即是所求正根，若，由零点存在定理知，至少有存在一个，使Ⅴ小结与提问小结：一切初等函数在其各自定义与内连续。闭区间上连续函数的性质很重要，要弄清定理的条件与结论以积极和解释.提问:1.如何判定在处的连续性？1.如何判断函数的间断点？Ⅵ课外作业：P1，2